12、混沌、对称性与多自由度系统中的动力学研究

混沌、对称性与多自由度系统中的动力学研究

1. 混沌与对称性基础

在动力学系统中，当参数 (K > K(0) {\alpha}) 时，六边形中心的椭圆点会失去稳定性。以 (q = 3) 或 (\alpha = 2\pi/3) 为例，(K(0) {\alpha}= 2\sqrt{3} = 1.1547 \cdots)。若忽略图形的某些“精细”细节，六边形会演变成矩形，随机网络的对称性也会相应改变。当 (K > K (0)_{\alpha}) 时，随机网络会占据矩形之间的狭窄区域，例如具有砖墙对称性的网络。

1.1 平面镶嵌与网络映射

网络映射 (\hat{M}_q) 可作为平面镶嵌的动态生成器。当 (q \in{q_c}) 时，平面具有晶体类型的任意阶 (q) 对称性；当 (q \notin{q_c}) 时，则具有准晶体类型的对称性。

镶嵌方法主要有两种：
- 一种是在进行镶嵌算法之前获取骨架。
- 另一种是直接利用系统的相图，通过去除一些细节或平滑某些特殊轨道（如随机网络）来简化。

值得注意的是，网络单元内部的部分相图可能与网络本身具有完全不同的对称性，甚至可能没有任何特殊对称性。在网络的中心单元内，存在各种随机层，它们通过不变曲线相互分离，并与随机网络隔开。

二维 (q) 重对称的镶嵌可视为相图装饰的结果。装饰指的是选择和/或改变相图某些元素的规则。例如，对图中的骨架进行装饰（(q = 5)）可将其转换为彭罗斯镶嵌。

1.2 随机网络的宽度计算

为计算随机网络的宽度，需使用旋转参考系中哈密顿量 (\tilde{H}) 的表示（8.3.