3、无限维自旋表示与相关代数结构

无限维自旋表示与相关代数结构

1. 正交基的讨论

首先，我们来探讨各个空间的正交基。设 ${e_k} {k = 1}^{\infty}$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的一组正交基。那么，对于 $n \in \mathbb{N}$，${e {k_1} \otimes \cdots \otimes e_{k_n} : k_1, \cdots, k_n \in \mathbb{N}}$ 构成了 $\otimes^n\mathcal{H}$ 关于之前定义的内积的一组正交基，内积在乘积向量上的定义为：
[
(f_1 \otimes \cdots \otimes f_n, g_1 \otimes \cdots \otimes g_n) = \prod_{i = 1}^{n} (f_i, g_i)
]
由此可知，${\Omega} \cup {e_{k_1} \otimes \cdots \otimes e_{k_n} : k_1, \cdots, k_n \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}}$ 是 $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ 的一组正交基。这里，我们将 $e_{k_1} \otimes \cdots \otimes e_{k_n}$ 与向量 $E = \sum_{m = 0}^{\infty} E_m \in \mathcal{F}(\mathcal{H})$ 等同起来，其中当 $m \in \mathbb{N} \setminus {n}$ 时，$E_m = 0$，且 $E_n = e_{k_1} \otimes \cdots \otimes e_{k_n}$。

当把 $\ot