18、特殊环群 SLS¹ 的自旋表示及相关研究

特殊环群 SLS¹ 的自旋表示及相关研究

1. 引言

在数学和物理的研究中，环群及其表示是一个重要的研究领域。特殊环群 SLS¹ 的自旋表示具有独特的性质，它不仅与正能投影表示相关，还在量子物理和代数几何等领域有着潜在的应用。本文将深入探讨 SLS¹ 的自旋表示，包括其正能性的证明、相关算子的性质以及与规范对易关系的联系等内容。

2. SLS¹ 的自旋表示基础

首先，我们需要验证一些关键条件来确保自旋表示的定义良好。根据相关理论，若 if 属于 u₂(ℋ, P)，则 eⁱᶠ 也属于 u₂(ℋ, P)。为了证明这一点，我们需要证明 [P, if] 是 Hilbert - Schmidt 算子，而这等价于证明 P f(1 - P) 是 Hilbert - Schmidt 算子。

设 X 为 N ∪ {0} 的指示函数，即 x(k) = 1 当 k ∈ N ∪ {0}，否则为 0。通过直接计算 f 的傅里叶级数，我们可以得到：
[
( e_k, P f(1 - P) f P e_k ) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} x(-k - 1) x(n + k) | f_n |^2
]
进而计算迹 Tr(P f(1 - P) f P)：
[
Tr(P f(1 - P) f P) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} ( e_k, P f(1 - P) f P e_k ) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} x(n + k) x(-k - 1) | f_n |^2
]
由于 f 属于 C*(S¹)