6、无限维自旋表示与受限酉群的自旋表示

无限维自旋表示与受限酉群的自旋表示

1. 无限维自旋表示

1.1 自旋李代数的定义与证明

无限维李代数被记为自旋李代数 (spin_2(\mathcal{H}))。通过利用公式 (2.9)，我们对 ([dU(A)dU(B), \pi(f)]) 进行计算：
[
\begin{align }
[dU(A)dU(B), \pi(f)] &= dU(A)[dU(B), \pi(f)] + [dU(A), \pi(f)]dU(B)\
&= dU(A)\pi(Bf) + \pi(Af)dU(B)
\end{align }
]
对于所有 (f \in \mathcal{H}) 在 (\mathcal{D}) 上成立。进一步计算 ([[dU(A), dU(B)], \pi(f)]) 可得：
[
\begin{align }
[[dU(A), dU(B)], \pi(f)] &= dU(A)\pi(Bf) + \pi(Af)dU(B) - dU(B)\pi(Af) - \pi(Bf)dU(A)\
&= [dU(A), \pi(Bf)] + [\pi(Af), dU(B)]\
&= \pi(ABf) - \pi(BAf)\
&= \pi([A, B]f)\
&= [dU([A, B]), \pi(f)]
\end{align }
]
同样由公式 (2.9) 可知，对于所有 (f \in \mathcal{H}) 在 (\mathcal{D}) 上成立