7、量子代数中的自旋与规范表示研究

量子代数中的自旋与规范表示研究

1. 受限酉群的自旋表示

1.1 算子 Q 的谱分析

算子 Q 的特征值集合至少包含整数集 Z。对于固定的特征值 (q \in Z)，其对应的特征向量都位于由特定的乘积基向量张成的子空间中。这些乘积基向量由单粒子向量的反对称张量积构成，且来自 (\text{sign}(q)) 的粒子比来自其正交补的粒子多 (q) 个。而且，每个特征值 (q \in Z) 都有无穷多个特征向量与之对应，同时算子 Q 是无界的，因为其谱是无界的。

之前已证明 Q 的谱包含 Z，接下来证明其谱就是 (a(Q) = Z)。对于所有 (s \in R)，有 (e^{iQ} - U_p(e^{siI}) = U_p(e^{iI(s + 2\pi)}) - e^{iQ} \cdot e^{i2\pi Q})，进而可得 (e^{i2\pi Q} = I)，这意味着 (a(Q) \subseteq Z)，所以 (a(Q) = Z)。

对于 (\lambda \notin Z)，(Q - \lambda) 的值域在 (\wedge(\mathcal{H})) 中是稠密的，并且 (|(Q - \lambda I)F| \geq c_{\lambda} |F|)，其中 (c_{\lambda} = \text{dist}(\lambda, Z) > 0)，所以 ((Q - \lambda)^{-1}) 是定义良好的，且其范数有界。需要注意的是，谱仅由特征值组成。

1.2 电荷分级与算子的对易关系

对于每个 (q \in Z = a(Q))，用 (\mathcal{H} q \subseteq \wedge