5、无限维自旋表示的深入探讨

无限维自旋表示的深入探讨

1. 拓扑群与李代数基础

在无限维空间的研究中，$O_2(\mathcal{H})$ 是一个关键的对象。通过特定的范数关系 $|T^{-1} - S^{-1}| {HS} = |T_1^ - S_1^ | + |T_2^ - S_2^ | {HS} = |T_1 - S_1| + |T_2 - S_2| {HS} - |T - S| {op}$，可以证明 $O_2(\mathcal{H})$ 在其线性部分的一致拓扑和反线性部分的希尔伯特 - 施密特拓扑下是一个拓扑群。

这里所选择的拓扑决定了 $O_2(\mathcal{H})$ 的李代数。我们定义的 “预李代数” $o_2(\mathcal{H})$ 为 $O_2(\mathcal{H}) = {A \in L(\mathcal{H}) : A^\dagger = -A, A^2 \in L_2(\mathcal{H})}$，其中 $L_r(\mathcal{H})$ 表示 $\mathcal{H}$ 上的实线性有界算子。要求 $A^\dagger = -A$ 意味着 $A_1^ = -A_1$ 且 $A_2^ = -A_2$，即 $A$ 的线性和反线性部分都是斜自伴的。

在后续的研究中，我们特别关注由指数映射从 $O_2(\mathcal{H})$ 生成的单位元附近的情况。需要注意的是，从无限维李代数到相应无限维李群的指数映射，在一般拓扑向量空间模型下，不一定是局部一一对应或局部满射的。不过，当向量空间是巴拿赫空间时，有一套完善的理论，与有限维李群的理论相当平行。

2.