1、无限维群与代数在量子物理中的应用与研究

无限维群与代数在量子物理中的应用与研究

1. 相关背景与研究现状

近年来，对于与 Kac - Moody 代数、圈代数、Virasoro 代数以及相关群的表示的研究兴趣再度兴起。这些群自然地出现在具有无限多个自由度的量子理论中，如正则量子场论、弦理论、统计量子物理和孤子理论。这种兴趣的复苏部分源于其在物理学中的众多有效应用，部分则源于在处理无限维李代数方面取得的数学成就。

然而，处理无限维李代数存在一些问题，许多从有限维李代数已知的基本方法无法适当地推广。特别是，对李代数元素进行指数运算等操作并不总是可行的，即使是在局部范围内。

圈群是从单位圆 $S^1$ 到李群 $G$ 的光滑映射的群，记为 $LG$。如果李群 $G$ 的李代数是 $\mathfrak{g}$，那么 $LG$ 的李代数是 $\mathfrak{slg}$，被称为 $\mathfrak{g}$ 的圈代数。圈代数的中心扩张被称为与李代数 $\mathfrak{g}$ 相关联的仿射 Kac - Moody 代数。Virasoro 代数是单位圆 $S^1$ 上光滑实向量场的复化的中心扩张，它的表示相对较好理解。单位圆上的微分同胚群 $Diff(S^1)$ 作为自同构群作用于任何圈群，而保定向子群 $Diff^+(S^1)$ 则在圈群的所有已知表示上进行射影作用，因此研究 Virasoro 代数与圈代数的联系是很自然的。

2. 量子场论中的 Fock 希尔伯特空间

在标准的量子场论方法中，物理系统的状态是 Fock 希尔伯特空间中的向量。Fock 希尔伯特空间的精确结构取决于它所描述的粒子遵循的统计类型。
- 玻色子情况 ：使用对