4、无限维自旋表示与二次量子化

无限维自旋表示与二次量子化

1. 无限维自旋表示基础

在无限维的量子理论中，我们首先关注算子 (U(A)) 的作用。对于任意的 (n \in N)，(U(A)) 作用在向量 (\Omega) 和 ( \wedge^n \mathcal{H}) 中的乘积向量上，有 (U(A)\Omega = \Omega) 和 (U(A)(f_1 \wedge \cdots \wedge f_n) = e^A f_1 \wedge \cdots \wedge e^A f_n)。

这里有一个重要的性质：
((U(A)(f_1 \wedge \cdots \wedge f_n), U(A)(g_1 \wedge \cdots \wedge g_n)) = \det{(e^A f_i, e^A g_j)} {i,j = 1, \cdots, n} = \det{(f_i, g_j)} {i,j = 1, \cdots, n} = (f_1 \wedge \cdots \wedge f_n, g_1 \wedge \cdots \wedge g_n))

通过线性和连续性的扩展，我们可以知道每个 (U(A)_n) 是 (\wedge^n \mathcal{H}) 上定义良好的酉算子。而 (U(tA)_n) 则是 (\wedge^n \mathcal{H}) 上的强连续单参数酉群（(t \in R)）。

根据 Stone 定理的变换，存在一个斜自伴算子 (dU(A) n) 在 (\wedge^n \mathcal{H}) 上，使得 (U(tA)_n = e^{t \cdot dU(A)_n})，(t \in R)。这个闭的、稠密定义的算子 (dU(