9、无限维辛表示中的二次量子化与相关理论

无限维辛表示中的二次量子化与相关理论

1. 二次量子化基础

1.1 复结构引入

在相关理论中，若 ${u_k, v_k} {k\in N}$ 是 $\mathcal{H} {\mathbb{R}}$ 的一个辛基，即对于所有的 $k, l\in N$，有 $a(u_k, u_l) = a(v_k, v_l) = 0$ 且 $a(u_k, v_l) = \delta_{k - l}$，我们定义 $Ju_k = v_k$ 以及 $Jv_k = -u_k$。通过（实）线性性和连续性扩展 $J$，能得到一个在 $\mathcal{H} {\mathbb{R}}$ 上具有上述性质的算子。这样的算子 $J$ 为 $\mathcal{H} {\mathbb{R}}$ 引入了复结构，反映了复希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的复结构。$\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{H} {\mathbb{R}}$ 之间的对应关系由 $e_k \sim u_k$ 和 $ie_k \sim v_k = Ju_k$ 给出，其中 ${e_k = u_k} {k\in S}$ 是 $\mathcal{H}$ 的一个基，并且 $(f, g) = a(f, \overline{g}) + ia(f, g)$ 是 $\mathcal{H}$ 上的内积。需要注意的是，对于所有的 $f, g\in \mathcal{H}$，有 $a(f, g) = \text{Im}(f, g)$，而 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ 是将 $\mathcal{H}$ 视为实希尔伯特空间。

1.2 二次量子化的概念与历史