11、无限维辛表示与圈代数相关理论解析

无限维辛表示与圈代数相关理论解析

1. 无限维辛表示中的真空泛函

在无限维辛表示的研究中，我们首先定义了一个算子 (U_0(dA))：
[U_0(dA) = e^{s\cdot dU^0(A)} = e^{\frac{1}{2}s\cdot Tr(Ax)}u(e^{sA})]
其中 (s\in R) 且接近零。通过坎贝尔 - 贝克 - 豪斯多夫公式，我们可以得到 (e^{sC}=e^{sA}e^{sB}) 中 (C) 的表达式，进而得到群上循环 (c(e^{sA},e^{sB})) 的表达式：
[c(e^{sA},e^{sB}) = (\det(e^{sA},e^{sB},e^{-sC}))^{\frac{1}{2}}]
这里对于任意迹类算子 (D)，有 (\det(e^D)=e^{Tr(D)})。

接下来，我们计算真空泛函 (c(s))，它定义为 (c(s) = (\Omega, U(e^{sA})\Omega))，其中 (A\in sp_2(\mathcal{H})) 且 (s) 在零的邻域内。与反对称情况类似，我们得到：
[\psi_{s}=c(s)\cdot e^{-\frac{1}{2}a^ (K)\Omega}]
其中 (K = S^2S^{-1}) 且 (S = e^{sA})（当 (s) 足够小时）。这个公式使我们能够得到关于 (c(s)) 的微分方程：
[\frac{d}{ds}(\Omega,\psi_{s}) = (\Omega, dU(A)\psi_{s}) = -\frac{1}{2}(a^ (A^2)\Omega,\Omega)=-\frac{1}{2}Tr(KA^2)\cdot