2、无限维正交群的自旋表示及相关理论

无限维正交群的自旋表示及相关理论

1. 引言

在物理领域，有许多模型和理论涉及到复杂的数学结构和物理现象。例如，伊辛模型用于描述铁等材料的铁磁性等物理现象。在可处理的近似中，通常假设只有最近邻之间存在相互作用。在某个临界点，如温度点，物理系统会发生二阶相变，即熵作为温度的函数是连续的，但它的导数是不连续的，从而改变其物理状态。此时，晶格间距变得无关紧要，形成了一种尺度不变的理论。在共形不变的情况下，该理论或模型由维拉索罗代数控制，其表示理论决定了相变的临界指数，这些临界指数指定了空间分离中的某些幂律行为，可在实验室中测量。

另外，维拉索罗代数还通过微分同胚群进入弦理论。简单来说，人们想描述无参数化的弦，但发现描述参数化的弦更方便。微分同胚群通过改变参数化作用于参数化弦的状态希尔伯特空间。弦是一维物体，是流形上的数学曲线，运动时会在闵可夫斯基时空中扫出一个“世界面”，弦上的点被视为不可区分的，所以参数化没有物理意义。

下面将系统地介绍无限维正交群的自旋表示相关内容。

2. 无限维正交群的自旋表示

2.1 福克希尔伯特空间

福克希尔伯特空间由物理学家V. Fock在1932年引入，作为量子场论的工作基础。F. Murray和J. von Neumann在1936年首次详细描述了希尔伯特空间的有限张量积。

设$\mathcal{H}$是一个可分复希尔伯特空间，内积为$(\cdot, \cdot)$，右参数为复线性。$\mathcal{H}$中的向量描述了给定量子物理系统的单粒子物理状态。

• n - 粒子空间 ：对于$n \in \