19、正方形网格中通过10个有序顶点的边简单回路

正方形网格中通过10个有序顶点的边简单回路

在图论领域，回路问题一直是研究的重点。本文聚焦于无限正方形网格中通过指定有序顶点的边简单回路问题，旨在找出最大的整数 $k$，使得对于无限正方形网格中任意 $k$ 个有序顶点的子集，都存在一条边简单回路按规定顺序访问这些顶点。

1. 背景与动机

• 图的连通性与回路问题 ：连通性是图论的核心概念之一。Menger 经典定理指出，一个图是 $k$ 顶点连通（或 $k$ 边连通）当且仅当它在任意两个顶点之间包含 $k$ 条顶点不相交（或边不相交）的路径。在 $k$ 顶点连通图中，任意 $k$ 个节点子集或任意 $k - 1$ 个独立边子集都包含在一个环中。然而，这些结果大多未考虑回路访问指定节点的顺序。
• 实际应用需求 ：在电信网络中，按特定顺序连接节点可能很重要，例如经典的令牌环网络（IEEE 802.5 标准）。同时，容错性是设计电信网络的关键问题，边简单回路是能够支持任何单链路故障的最简单网络，这也是研究此类回路的重要原因之一。此外，正方形网格在并行计算中广泛应用，研究其回路问题具有实际意义。而且，正方形网格在某种意义上是平面图的共同骨架，每个分支宽度至少为 $\ell$ 的平面图都包含一个 $(\lfloor\ell/4\rfloor\times\lfloor\ell/4\rfloor)$ 网格作为子图。

2. 基本定义

• 配置与可行配置 ：配置 $X$ 是无限正方形网格的顶点子集。若对于 $X$ 中顶点的任意排列 $\sigma$，都存在