24、小网格尺寸的 EPG 表示研究

小网格尺寸的 EPG 表示研究

1. EPG 表示基础与 xy + -单调 EPG 表示

在图的表示研究中，EPG（Edge - Path Grid）表示是一个重要的方向。对于图 (G) 中的边，若存在边 ((v, w))，在 (R_V) 中必然存在点 ((i, j)) 使得 (path(v)) 和 (path(w)) 相交。由于 (R_V) 是合适的，不妨假设 (path(v)) 在 ((i, j)) 处使用向右的边，而 (path(w)) 使用向上的边。对应到 (R’_V) 中的点 ((2i + j, 2j))，(path’(v)) 和 (path’(w)) 分别使用其相邻的向右和向上的边。并且，(path’(w)) 使用 “之字形” ((2i + j, 2j)-(2i + j, 2j + 1)-(2i + j + 1, 2j + 1)) 。此时可以重新路由 (w) 的顶点路径，使其使用 ((2i + j, 2j)-(2i + j + 1, 2j)-(2i + j + 1, 2j + 1))，这样两条路径就共享了一个网格边，且不影响其他顶点路径的相交和重叠情况，从而得到图 (G) 的 EPG 表示，且该表示是 xy + -单调的。

有定理表明，每个具有 (n) 个顶点的图 (G) 在 (3n×2n) 网格中都有一个 xy + -单调的 EPG 表示。证明过程如下：
- 首先，在 (n×n) 网格中，使用 Γ 形（这是一种 xy + -单调的顶点路径）很容易创建完全图 (K_n) 的合适 VPG 表示。具体做法是将顶点 (i) 的 Γ 形的角放置在 ((i - 1, i)) 处，并将两条臂分别延伸到 (y = 1) 和 (x = n) 。对于顶点 1，网格边 ((0, 1)-(1, 1)) 不需