12、网格障碍表示与楼梯守卫相关研究

网格障碍表示与楼梯守卫相关研究

1. 网格障碍表示基础

在图论和计算几何领域，网格障碍表示是一个重要的研究方向。对于平面图，有如下重要结论：
- 定理1 ：每个平面图都可以在一个 $O(n) × O(n)$ 的二维网格中得到网格障碍表示。我们可以通过将平面图的直线绘制转换为可见性表示，进而实现网格障碍表示。具体来说，高度为 $H$ 的平面图的直线绘制可以转换为高度为 $2H$、宽度为 $O(n)$ 的可见性表示。基于树、外平面图和串并联图的已有绘制方法，我们还能得到以下推论。
- 推论1 ：
- 每棵树和每个外平面图都可以在一个 $O(\log n) × O(n)$ 的二维网格中得到网格障碍表示。
- 每个串并联图都可以在一个 $O(\sqrt{n}) × O(n)$ 的二维网格中得到网格障碍表示。

下面用一个表格总结不同类型图的二维网格障碍表示：
| 图的类型 | 二维网格大小 |
| ---- | ---- |
| 平面图 | $O(n) × O(n)$ |
| 树和外平面图 | $O(\log n) × O(n)$ |
| 串并联图 | $O(\sqrt{n}) × O(n)$ |

2. 三维网格障碍表示

在三维空间中，我们可以通过一种类似且更简单的构造方法得到网格障碍表示。具体步骤如下：
1. 任意顺序枚举顶点为 $v_1, \cdots, v_n$，将顶点 $v_i$ 放置在 $(i, i, i)$ 位置。
2. 对于边 $(v_i, v_j)$（$i <