16、图分解与反馈顶点集问题研究

图分解与反馈顶点集问题研究

图分解相关内容

在图论中，图的分解是一个重要的研究方向。我们先来看关于图分解的一些结论和证明。

对于某些图的子图分解，存在一些明显的方法。例如，对于由两个 3 - 分量的六个顶点所诱导出的图 $G$ 的子图，很容易将其分解为三个 2 - 分量。

有这样一个结论：图 $G$ 是 $(1, 3)$ - 可约的。下面来证明这个结论：
假设图 $G$ 有一个 $13k$ - 分解 $\alpha$，其中 $k \geq 3$。由于 $|C| \geq |I| - 1$，所以 $\alpha$ 中的至少一个 3 - 分量至少有两个 $C$ - 顶点。设 $H$ 表示这样的一个 3 - 分量，$v$ 表示 $\alpha$ 中 1 - 分量的顶点。
- 若 $v \in C$，那么很容易将由 $V(H) \cup {v}$ 所诱导出的图 $G$ 的子图分解为两个 2 - 分量。
- 若 $v \in I$，因为图 $G$ 对于 $n$ 的规范 2 - 本原划分 $\alpha$ 是 $\alpha$ - 可分解的，所以 $v$ 不是孤立顶点。设 $u$ 是 $v$ 的一个 $C$ - 邻接点：
- 若 $u$ 在 $\alpha$ 的 $T_1^2$ 或 $T_0^3$ 中，或者 $u$ 是 $\alpha$ 的 $T_1^2$ 中度数为 1 的顶点，那么也容易将由 $v$ 和包含 $u$ 的 3 - 分量的顶点所诱导出的图 $G$ 的子图分解为两个 2 - 分量。
- 若 $u$ 是 $\alpha$ 的 $T_1^2$ 中度数为 2 的顶点，由于 $|C| \geq |I| - 1$ 且 $v \in I$，$