17、低团宽图上的反馈顶点集问题求解

低团宽图上的反馈顶点集问题求解

在图论和算法设计领域，解决低团宽图上的反馈顶点集问题是一个重要的研究方向。本文将详细介绍如何通过动态规划算法来解决这一问题，主要包括计算图的孪生类和求解反馈顶点集两个关键步骤。

1. 计算孪生类

在解决反馈顶点集问题之前，我们需要计算图的孪生类。给定一个 $n$ 顶点 $m$ 边的图 $G$ 及其有根分解树 $(T, \delta)$，对于 $T$ 中的每个内部节点 $u$，我们要计算由以 $u$ 为根的子树所诱导的 $G$ 的顶点子集 $V_u$ 的孪生类。

• 输入转换 ：如果输入是图 $G$ 和一个团宽为 $k$ 的表达式，我们可以通过收缩团宽表达式底层图中只有一个子节点的内部节点，将其转换为图 $G$ 及其模块宽度至多为 $k$ 的有根分解树。
• 简单计算方法 ：一种简单的计算 $V_u$ 孪生类划分的方法是初始化 $Q = (V_u)$，然后对于每个顶点 $z \in V(G) \setminus V_u$，使用 $z$ 的邻域 $N(z)$ 作为枢轴对 $Q$ 进行一对一细化。这种方法每个内部节点 $u$ 的运行时间为 $O(m)$，全局运行时间为 $O(nm)$。
• 优化方法 ：为了减少运行时间，我们可以使用 $N(z) \cap V_u$ 作为枢轴代替 $N(z)$，而不改变每一步的细化划分。具体步骤如下：
  1. 预处理 ：
     • 准备树 $T$，使得对于 $T$ 的任意