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连通反馈顶点集的 FPT 算法
在图论和参数化复杂性的研究中，连通反馈顶点集（Connected Feedback Vertex Set，CFVS）问题是一个重要的研究对象。本文将详细介绍解决 CFVS 问题的固定参数可处理（Fixed-Parameter Tractable，FPT）算法，以及相关的概念和技术。
1. 预备知识
在深入探讨算法之前，我们需要了解一些基本的定义和术语。
-
参数化问题
：一个参数化问题 Π 是 Γ ∗× N 的一个子集，其中 Γ 是一个有限字母表。参数化问题的一个实例是一个元组 (x, k)，其中 k 被称为参数。
-
固定参数可处理性（FPT）
：对于一个给定的实例 (x, k)，如果可以在时间 f(k) · p(|x|) 内进行判定，其中 f 是关于 k 的任意函数，p 是输入大小的多项式，那么该问题就是固定参数可处理的。
-
核化
：一个参数化问题 Π ⊆Γ ∗× N 的核化算法是一个给定 (x, k) ∈Γ ∗× N，在 |x| + k 的多项式时间内输出一个对 (x′, k′) ∈Γ ∗× N 的算法，满足 (a) (x, k) ∈Π 当且仅当 (x′, k′) ∈Π；(b) |x′|, k′ ≤g(k)，其中 g 是某个可计算函数。输出实例 x′ 称为核，函数 g 称为核的大小。如果 g(k) = kO(1)（或 g(k) = O(k)），则称 Π 允许一个多项式（或线性）核。
-
图的相关概念
：
- 若图 H 是图 G 的子图，则称图 G（无向或有向）包含图 H。
- 对于有向图 D = (V, A)，V (D) 和 A(D) 分别表示 D 的顶点集和弧集。
- 若 uv ∈A（或 vu ∈A），则顶点 u ∈V (D) 是顶点 v ∈V (D) 的入邻接点（或出邻接点）。
- 顶点 v 的入邻域和出邻域分别用 N −(v) 和 N +(v) 表示，入度 d−(v)（或出度 d+(v)）是 |N −(v)|（或 |N +(v)|）。
- 若有向图 D 的子图 T 的顶点集 VT ⊆V (D)，且 T 是一个有向树，只有一个入度为零的顶点 r（称为根），则称 T 为外向树。T 中出度为零的顶点称为叶子，其他顶点称为内部顶点。
2. 一般图中的连通反馈顶点集
在一般图中解决 CFVS 问题，我们首先需要解决一个与之密切相关的问题——组 Steiner 树（Group Steiner Tree，GST）问题。
2.1 组 Steiner 树问题
GST 问题的定义如下：
-
输入
：一个无向图 G = (V, E)；顶点不相交的子集 S1, …, Sl ⊆V；以及一个整数 p。
-
参数
：整数 l。
-
问题
：G 是否包含一棵至多 p 个顶点的树，该树至少包含每个 Si 中的一个顶点？
我们的固定参数算法首先将 GST 问题归约为有向 Steiner 外向树（Directed Steiner Out-Tree）问题，然后证明有向 Steiner 外向树问题是固定参数可处理的。
有向 Steiner 外向树问题的定义如下：
-
输入
：一个有向图 D = (V, A)；一个特殊顶点 r ∈V；一个终端集 S ⊆V；以及一个整数 p。
-
参数
：整数 l = |S|。
-
问题
：D 是否包含一棵以 r 为根、至多 p 个顶点的外向树，且该树包含 S 中的所有顶点？
下面是两个关键的引理：
-
引理 1
：GST 问题图灵归约到有向 Steiner 外向树问题。
-
证明
：给定 GST 的一个实例 (G = (V, E), S1, …, Sl, p)，构造有向 Steiner 外向树的一个实例如下。设 S = {s1, s2, …, sl} 是 l 个新顶点的集合，即对于 1 ≤i ≤l，si ∉V。令 V ′ = V ∪S，A = {uv, vu : {u, v} ∈E} ∪∪l
i=1{xsi : x ∈Si}。最后，令 D = (V ′, A)。很容易看出，G 包含一棵至多 p 个顶点的树，该树至少包含每个 Si 中的一个顶点，当且仅当存在一个顶点 r ∈V ′ 和 D 中一棵以 r 为根、至多 p + l 个顶点的外向树，该树包含 S 中的所有顶点。
-
引理 2
：有向 Steiner 外向树问题可以在 O(2l · nO(1)) 时间内使用多项式空间解决。
由引理 1 和引理 2 可得：
-
引理 3
：组 Steiner 树问题可以在 O(2l · nO(1)) 时间内使用多项式空间解决。
2.2 CFVS 的 FPT 算法
我们解决 CFVS 问题的 FPT 算法使用了一个子例程，该子例程用于枚举大小至多为 k 的最小反馈顶点集的有效表示。具体来说，该子例程枚举所有最小反馈集的紧凑表示。
一个图 G = (V, E) 的最小反馈集的紧凑表示是 V 的两两不相交子集的集合 C，从 C 中的每个集合中恰好选择一个顶点，就可以得到 G 的一个最小反馈集。如果表示中的集合数量至多为 k，则称该紧凑表示为 k - 紧凑表示。显然，任何大小至多为 k 的连通反馈集必然从某个 k - 紧凑表示的集合中选择顶点。
给定一个图 G = (V, E) 和一个 k - 紧凑表示 S1, …, Sr（r ≤k），判断是否存在一个连通反馈顶点集，该集合至少包含每个集合 Si 中的一个顶点，这个问题可以归约为组 Steiner 树问题，其中 Steiner 组就是紧凑表示的集合。
我们的算法会遍历所有的 k - 紧凑表示，对于每个这样的表示，使用组 Steiner 树问题的算法来检查是否存在一棵至多 k 个顶点的树，该树包含紧凑表示中每个集合 Si 中的一个顶点。如果对于所有的 k - 紧凑表示，答案都是否，则算法报告给定实例是一个否实例；如果对于某个紧凑表示，答案是是，则算法返回找到的树。
由于可以在时间 O(ck · m) 内枚举所有紧凑表示，我们得到以下定理：
-
定理 1
：给定一个图 G = (V, E) 和一个整数 k，可以在时间 O(ck · nO(1)) 内判断 G 是否有一个大小至多为 k 的连通反馈集，其中 c 是某个常数。
虽然 CFVS 问题是固定参数可处理的，但它不太可能有一个多项式核，如下定理所示：
-
定理 2
：除非多项式层次结构坍缩到 Σ3，否则 CFVS 问题不允许一个多项式核。
有趣的是，在排除某个固定图 H 作为子式的图类中，CFVS 问题有一个多项式核。
此外，枚举紧凑表示的算法可以通过某些规则进行改进。对于森林二分问题（Forest Bipartition）的一个肯定实例，如果根据特定的规则进行约简，那么该实例的大小至多为 5k + 1。森林二分问题的定义如下：
-
输入
：一个无向图 G = (V, E)，可能有多重边和环，以及一个集合 S ⊆V，使得 |S| = k + 1 且 G \ S 是无环的。
-
参数
：整数 k。
-
问题
：G 是否有一个大小至多为 k 的反馈顶点集包含在 V \ S 中？
在根据规则约简的森林二分问题的肯定实例中，|V \S| ≤4k。使用这个界限，我们可以得到一个 O∗(ck) 时间的算法来枚举大小至多为 k 的最小反馈顶点集的紧凑表示，其中 c = 52。
-
定理 3
：给定一个图 G = (V, E) 和一个整数 k，可以在时间 O(52k · |E|) 内枚举 G 的所有大小至多为 k 的最小反馈顶点集的紧凑表示。
下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示了 CFVS 算法的主要步骤：
graph TD;
A[输入图 G 和整数 k] --> B[枚举所有 k - 紧凑表示];
B --> C{是否有 k - 紧凑表示};
C -- 是 --> D[对每个 k - 紧凑表示运行 GST 算法];
D --> E{是否存在满足条件的树};
E -- 是 --> F[返回找到的树];
E -- 否 --> G[报告否实例];
C -- 否 --> G;
3. H - 子式无关图上的亚指数 FPT 算法
在前面的部分，我们得到了一般图上 CFVS 问题的 O∗(ck) 算法。在这一部分，我们将展示在 H - 子式无关图类上，CFVS 问题存在一个亚指数时间算法，运行时间为 O(2O(√k log k)nO(1))。
3.1 定义和术语
- 图的子式 ：给定图 G 中的一条边 e，e 的收缩是将其端点在 G 中标识，然后移除所有环和重复边的结果。图 G 的一个子式是一个图 H，它可以通过收缩 G 的一个子图的边得到。
- 图类的性质 ：一个图类 C 是子式封闭的，如果 C 中任何图的任何子式也是 C 的一个元素。一个子式封闭的图类 C 是 H - 子式无关的或简称为 H - 无关的，如果 H ∉C。
-
树分解
：图 G = (V, E) 的树分解是一个对 (T = (VT , ET ), X = {Xt}t∈VT )，其中 T 是一棵树，Xt 是 V 的子集，满足以下条件：
-
∪
u∈VT Xt = V； - 对于每条边 e = {u, v} ∈E，存在 t ∈VT 使得 u, v ∈Xt；
-
对于每个顶点 v ∈V，子图 T [{t | v ∈Xt}] 是连通的。
树分解的宽度是 maxt∈VT |Xt| - 1，图 G 的树宽，记为 tw(G)，是所有树分解中的最小宽度。
-
∪
-
好的树分解
：一个树分解被称为好的树分解，如果满足以下条件：
-
树 T 的每个节点最多有两个子节点。没有子节点的节点称为叶子节点，非叶子节点有三种类型：
- 如果一个节点 t 有两个子节点 t1 和 t2，则 Xt = Xt1 = Xt2，t 称为连接节点。
- 如果一个节点 t 有一个子节点 t1，则要么 |Xt| = |Xt1| + 1 且 Xt1 ⊂Xt（t 称为引入节点），要么 |Xt| = |Xt1| - 1 且 Xt ⊂Xt1（t 称为遗忘节点）。
-
树 T 的每个节点最多有两个子节点。没有子节点的节点称为叶子节点，非叶子节点有三种类型：
可以在时间 O(|V | + |E|) 内将给定的树分解转换为好的树分解。
下面是一个表格，总结了上述定义和术语：
| 术语 | 定义 |
| — | — |
| 图的子式 | 通过收缩图的子图的边得到的图 |
| 子式封闭图类 | 图类中任何图的任何子式也是该图类的元素 |
| H - 子式无关图类 | 不包含图 H 作为子式的子式封闭图类 |
| 树分解 | 满足特定条件的树和顶点子集对 |
| 树宽 | 树分解的最小宽度 |
| 好的树分解 | 满足特定条件的树分解 |
3.2 连通 FVS 与树宽
在这一部分，我们将证明连通反馈顶点集问题在输入图的树宽作为参数时是固定参数可处理的。具体来说，我们要解决以下问题：
-
输入
：一个无向图 G = (V, E)；一个整数 k；以及 G 的一个宽度为 w 的好的树分解。
-
参数
：图 G 的树宽 w。
-
问题
：是否存在 S ⊆V，使得 G \ S 是无环的，G[S] 是连通的，且 |S| ≤k？
我们设计了一个动态规划算法，在好的树分解上以 O(wO(w) · nO(1)) 的时间复杂度解决这个问题。
设 (T = (I, F) , {Xi|i ∈I}) 是输入图 G 的宽度为 w 且以 r ∈I 为根的好的树分解。我们用 Ti 表示以 i ∈I 为根的 T 的子树，Gi = (Vi, Ei) 表示由 Ti 中所有顶点诱导的 G 的子图，即 Gi = G[∪
j∈V (Ti) Xj]。
对于每个节点 i ∈I，我们计算一个表 Ai，其行是 4 - 元组 [S, P, Y, val]。表 Ai 为前三个组件的每个组合包含一行，这些组件的含义如下：
- S 是 Xi 的一个子集。
- P 是 S 最多分成 |S| 个带标签部分的划分。
- Y 是 Xi \ S 最多分成 |Xi \ S| 个带标签部分的划分。
我们用 P(v)（或 Y (v)）表示划分 P（或 Y）中包含顶点 v 的部分。我们用 |P|（或 |Y |）表示划分 P（或 Y）中的部分数量。最后一个组件 val，也记为 Ai [S, P, Y]，是 Gi 的最小反馈顶点集 Fi ⊆V (Gi) 的大小，满足以下性质：
- 如果 S = ∅，则 Fi 在 Gi 中是连通的。
- 如果 S ≠ ∅，则：
- Fi ∩Xi = S。
- S 中任何一个部分 P 中的所有顶点都在 Gi[Fi] 的一个连通分量中。此外，Gi[Fi] 恰好有 |P| 个连通分量。
- Xi \ S 中同一部分 Y 中的所有顶点都在 Gi[Vi \ Fi] 的一个连通分量（一棵树）中。此外，Gi[Vi \ Fi] 至少有 |Y | 个连通分量。
如果不存在这样的集合 Fi，则行的最后一个组件设置为 ∞。
我们固定 Xi 中顶点的任意顺序，为树分解的每个节点 i ∈I 计算表 Ai。由于每个包 Xi 中最多有 w + 1 个顶点，任何表 Ai 中的行数不超过：
[
\sum_{i = 0}^{w + 1} \binom{w + 1}{i} i^i \cdot (w + 1 - i)^{w + 1 - i} \leq (2w + 2)^{2w + 2}
]
我们从树分解的叶子节点开始计算表 Ai，然后向上计算到根节点。
下面是不同类型节点的计算步骤：
-
叶子节点
：设 i 是树分解的叶子节点。对于每个三元组 (S, P, Y)，其中 S 是 Xi 的子集，P 是 S 的划分，Y 是 Xi \ S 的划分：
- 如果以下条件至少有一个成立，则设置 Ai [S, P, Y] = ∞：
- Gi \ S 包含一个环（即 S 不是 Gi 的 FVS）。
- P 的至少一个部分在 Gi[S] 中不连通，或者 Gi[S] 的连通分量少于 |S| 个。
- Y 的至少一个部分在 Gi[Vi \ S] 中不连通，或者 Gi[Vi \ S] 的连通分量少于 |Y | 个。
- 在所有其他情况下，设置 Ai [S, P, Y] = |S|。
-
引入节点
：设 i 是引入节点，j 是其唯一子节点。设 x ∈Xi \ Xj 是引入的顶点。对于每个三元组 (S, P, Y)，我们按以下方式计算条目 Ai[S, P, Y]：
-
情况 1：x ∈S
：检查 N(x) ∩S ⊆P(x)；如果不满足，则设置 Ai[S, P, Y] = ∞。
-
子情况 1：P(x) = {x}
：设置 Ai[S, P, Y] = Aj[S \ {x}, P \ P(x), Y] + 1。
-
子情况 2：|P(x)| ≥2 且 N(x) ∩P(x) = ∅
：设置 Ai[S, P, Y] = ∞，因为 S 扩展为 Gi 的 fvs 无法使 P(x) 连通。
-
子情况 3：|P(x)| ≥2 且 N(x) ∩P(x) ≠ ∅
：设 A 是表 Aj 中满足以下条件的所有行 [S′, P ′, Y] 的集合：
- S′ = S \ {x}。
- P ′ = (P \ P(x)) ∪Q，其中 Q 是 P(x) \ {x} 的划分，使得 Q 的每个部分包含 N(x) ∩P(x) 的一个元素。
设置 Ai[S, P, Y] = min[S′,P ′,Y]∈A{Aj[S′, P ′, Y]} + 1。
-
情况 2：x ∉S
：检查 N(x)∩(Xi\S) ⊆Y (x)；如果不满足，则设置 Ai[S, P, Y] = ∞。
-
子情况 1：Y (x) = {x}
：设置 Ai[S, P, Y] = Aj[S, P, Y \ Y (x)]。
-
子情况 2：|Y (x)| ≥2 且 N(x) ∩Y (x) = ∅
：设置 Ai[S, P, Y] = ∞，因为 S 扩展为 Gi 的 fvs Fi 无法使 Y (x) 在 Gi[Vi \ Fi] 中成为一个连通分量。
-
子情况 3：|Y (x)| ≥2 且 N(x) ∩Y (x) ≠ ∅
：设 A 是表 Aj 中所有行 [S, P, Y ′] 的集合，其中 Y ′ = (Y \Y (x))∪Q，Q 是 Y (x) \ {x} 的划分，使得 Q 的每个部分恰好包含 N(x) ∩Y (x) 的一个元素。设置 Ai[S, P, Y] = min[S,P,Y ′]∈A{Aj[S, P, Y ′]}。
-
遗忘节点
：设 i 是遗忘节点，j 是其唯一子节点。设 x ∈Xj \ Xi 是被遗忘的顶点。对于表 Ai 中的每个三元组 (S, P, Y)，设 A 是表 Aj 中满足以下条件的所有行 [S′, P ′, Y] 的集合：
- S′ = S ∪{x}。
- P ′(x) = P(y) ∪{x} 对于某个 y ∈S。
设 B 是表 Aj 中所有行 [S, P, Y ′] 的集合，使得 Y ′(x) = Y (z) ∪{x} 对于某个 z ∈S。设置：
[
Ai[S, P, Y] = \min \left{ \min_{[S’,P’,Y] \in A} Aj[S’, P’, Y], \min_{[S,P,Y’] \in B} Aj[S, P, Y’] \right}
]
-
连接节点
：设 i 是连接节点，j 和 l 是其子节点。对于每个三元组 (S, P, Y)，我们按以下方式计算 Ai[S, P, Y]：
-
情况 1：S = ∅
：如果 Aj[∅, P, Y] 和 Al[∅, P, Y] 都是正有限的，则设置 Ai[∅, P, Y] = ∞；否则，设置 Ai[∅, P, Y] = max{Aj[∅, P, Y], Al[∅, P, Y]}。
-
情况 2：S ≠ ∅
：设 A 表示所有三元组对 ⟨(S, P1, Y1), (S, P2, Y2)⟩ 的集合，其中 (S, P1, Y1) ∈Aj 且 (S, P2, Y2) ∈Al，具有以下性质：从划分 Qp = P1 和 Qy = Y1 开始，反复应用以下一组操作，我们得到与 P 和 Y 相同的稳定划分。
- 第一个操作：如果存在顶点 u, v ∈S，它们在 Qp 的不同部分但在 P2 的同一部分，则从 Qp 中删除 Qp(u) 和 Qp(v)，并添加 Qp(u) ∪Qp(v)。
- 第二个操作：设 Z = Xi \ S，Gi[Z] 的连通分量为 C1, …, Cq。首先将每个连通分量 Ci 收缩为一个顶点 ci，即该分量的代表，令 C = {c1, …, cq}。注意，对于每个 1 ≤i ≤q，分量 Ci 在 Y1 或 Y2 中都不会跨部分分裂。分别用 Y ′
1 和 Y ′
2 表示从 Y1 和 Y2 得到的划分，用其代表顶点 ci 替换每个连通分量 Ci。令 Qy = Y ′
1。重复直到不再可能：如果存在 ca, cb ∈C，它们在 Qy 的不同部分但在 Y2 的同一部分，则从 Qy 中删除 Qy(ca) 和 Qy(cb)，并添加 Qy(ca) ∪Qy(cb)，前提是以下条件成立：对于所有 ce ∈C \ {ca, cb}，要么 Y2(ce)∩Qy(ca) = ∅，要么 Y2(ce)∩Qy(cb) = ∅。如果后一个条件不成立，则转到下一对三元组。最后将每个 ci 扩展为它所代表的连通分量。
设置：
[
Ai[S, P, Y] = \min_{\langle (S,P1,Y1),(S,P2,Y2) \rangle \in A} { Aj[S, P1, Y1] + Al[S, P2, Y2] - |S| }
]
- 根节点 ：我们从根节点 r 的表 Ar 中计算 G 的最小 CFVS 的大小，方法是找到所有三元组 (S, P, Y) 上 Ar[S, P, Y] 的最小值，其中 S ⊆Xr，P 是 S 的划分，使得 P 由单个（可能为空）部分组成，Y 是 Xr \ S 的划分。这个最小值就是 G 的最小 CFVS 的大小。
从上述描述和表的大小受 (2w + 2)2w+2 限制，我们得到以下结果：
-
引理 4
：给定一个图 G = (V, E) 和 G 的宽度为 w 的树分解，可以在时间 O((2w + 2)2w+2 · nO(1)) 内计算 G 的最优连通反馈顶点集的大小（如果存在）。
通过上述算法和分析，我们可以在 H - 子式无关图上以亚指数时间解决 CFVS 问题。具体来说，利用已知的“网格定理”来限制输入图的树宽，我们可以得到运行时间为 O(2O(√k log k)nO(1)) 的算法。
综上所述，我们介绍了一般图和 H - 子式无关图上解决 CFVS 问题的 FPT 算法，以及相关的概念和技术。这些算法为解决实际问题提供了有效的工具，同时也为进一步的研究奠定了基础。
连通反馈顶点集的 FPT 算法
4. 算法总结与复杂度分析
- 组 Steiner 树问题 ：通过图灵归约将其转化为有向 Steiner 外向树问题，再利用已有的算法解决。该问题可以在 $O(2^l \cdot n^{O(1)})$ 时间内使用多项式空间解决，其中 $l$ 是参数。
- 一般图中的 CFVS 问题 ：利用枚举最小反馈顶点集的紧凑表示，并将其转化为组 Steiner 树问题进行求解。可以在时间 $O(c^k \cdot n^{O(1)})$ 内判断图是否有一个大小至多为 $k$ 的连通反馈集，其中 $c$ 是某个常数。并且，枚举紧凑表示的算法可以优化到 $O(52^k \cdot |E|)$ 时间。
- H - 子式无关图上的 CFVS 问题 ：使用动态规划算法，在好的树分解上以 $O(w^{O(w)} \cdot n^{O(1)})$ 的时间复杂度解决。结合“网格定理”，可以得到运行时间为 $O(2^{O(\sqrt{k} \log k)}n^{O(1)})$ 的亚指数时间算法。
下面是一个表格总结不同情况下的算法复杂度：
| 问题类型 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
| — | — | — |
| 组 Steiner 树问题 | $O(2^l \cdot n^{O(1)})$ | 多项式空间 |
| 一般图中的 CFVS 问题 | $O(c^k \cdot n^{O(1)})$ | - |
| 优化枚举紧凑表示 | $O(52^k \cdot |E|)$ | - |
| H - 子式无关图上的 CFVS 问题 | $O(2^{O(\sqrt{k} \log k)}n^{O(1)})$ | - |
5. 实际应用与拓展
连通反馈顶点集问题在许多实际场景中有重要应用，例如电路设计、网络分析等。在电路设计中，CFVS 可以帮助识别电路中的关键节点，以确保电路的稳定性和可靠性。在网络分析中，CFVS 可以用于发现网络中的重要节点，以提高网络的鲁棒性。
此外，这些算法还可以进行拓展和优化。例如，可以考虑在不同类型的图上进一步优化算法复杂度，或者结合其他图论问题进行综合求解。还可以探索如何将这些算法应用到大规模图数据中，以提高算法的可扩展性。
6. 总结与展望
本文详细介绍了连通反馈顶点集问题的 FPT 算法，包括一般图和 H - 子式无关图上的算法。通过引入组 Steiner 树问题和动态规划方法，我们得到了高效的算法解决方案。
在未来的研究中，可以进一步探索以下方向：
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算法复杂度优化
：继续寻找更高效的算法，以降低时间和空间复杂度。
-
应用场景拓展
：将算法应用到更多实际场景中，并解决实际问题。
-
与其他问题的结合
：结合其他图论问题，如顶点覆盖问题、独立集问题等，进行综合求解。
以下是一个 mermaid 流程图，展示整个算法研究的流程和未来展望：
graph LR;
A[问题定义：CFVS 问题] --> B[一般图算法：枚举与归约];
B --> C[复杂度分析：O(c^k · n^O(1))];
A --> D[H - 子式无关图算法：动态规划];
D --> E[复杂度分析：O(2^O(√k log k)n^O(1))];
C --> F[实际应用：电路设计、网络分析];
E --> F;
F --> G[算法拓展与优化];
G --> H[未来研究方向：复杂度优化、应用拓展、问题结合];
总之，连通反馈顶点集问题的研究为图论和参数化复杂性领域提供了重要的理论和实践基础，未来还有很大的研究空间和应用潜力。
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