36、连通反馈顶点集与三度图最大独立集算法研究

连通反馈顶点集与三度图最大独立集算法研究

连通反馈顶点集在H-子式无关图中的FPT算法

在图论算法研究中，连通反馈顶点集（CFVS）问题是一个重要的研究方向。对于H - 子式无关图，我们可以对输入图的树宽进行界定。

引理5 ：若(G, k)是CFVS的一个肯定实例，其中图G排除固定图H作为子式，那么tw(G) ≤ cH√k，这里cH是仅依赖于图H的常数。
- 证明过程 ：根据相关研究，对于任意固定图H，每个不包含(w × w) - 网格作为子式的H - 子式无关图G，其树宽至多为c′Hw，其中c′H是仅依赖于图H的常数。显然，(w × w) - 网格的反馈顶点集大小至少为c1w²，这里c1是与w无关的常数。所以，如果G有一个大小至多为k的连通反馈顶点集，它就不能有(w × w) - 网格子式，其中w > √(k/c1)。因此，tw(G) ≤ c′Hw ≤ c′H · (√(k/c1) + 1) ≤ cH√k，其中cH = (c′H + 1)/√c1。

定理4 ：CFVS在H - 子式无关图上可以在时间O(2O(√k log k) + nO(1))内解决。
- 证明过程 ：给定CFVS的一个实例(G, k)，我们首先使用Demaine等人的多项式时间常数因子近似算法来找到G的树分解。如果tw(G) > cH√k，那么给定的实例就是一个否定实例；否则，使用引理4为G找到一个最优的CFVS。所有这些操作可以在O(2O(√k log k) · nO(1))内完成。为了得到所声称的运行时间界限，我们首先应用相关结果并在多项式时间内为该问题获得一个O(k²)的核，然后应用所描述的算法。

这个算法的流程可以用以下mermaid流程图表示：

graph TD;
    A[输入实例(G, k)] --> B[找G的树分解];
    B --> C{tw(G) > cH√k?};
    C -- 是 --> D[否定实例];
    C -- 否 --> E[用引理4找最优CFVS];
    E --> F[应用结果获O(k²)核];
    F --> G[应用算法求解];

三度图最大独立集问题

最大独立集问题（MIS）是一个基本的NP - 难优化问题，在图论算法研究中受到了广泛关注。在三度图中寻找最大独立集是该问题的一个重要子问题。

以下是目前已发表的关于最大独立集问题的精确算法的总结表格：
| 作者 | 运行时间 | 备注 |
| ---- | ---- | ---- |
| Tarjan & Trojanowski | O∗(1.2600n) for MIS | n: 顶点数 |
| Jian | O∗(1.2346n) for MIS | |
| Robson | O∗(1.2109n) for MIS | 指数空间 |
| Beigel | O∗(1.0823m) for MIS
O∗(1.1259n) for 3 - MIS | m: 边数; 3 - MIS: 三度图中的MIS |
| Chen et al. | O∗(1.1254n) for 3 - MIS | |
| Xiao et al. | O∗(1.1034n) for 3 - MIS | 中文发表 |
| Fomin et al. | O∗(1.2210n) for MIS | |
| Fomin & Høie | O∗(1.1225n) for 3 - MIS | |
| Füer | O∗(1.1120n) for 3 - MIS | |
| Razgon | O∗(1.1034n) for 3 - MIS | |
| Bourgeois et al. | O∗(1.0977n) for 3 - MIS | |
| Razgon | O∗(1.0892n) for 3 - MIS | |

在设计寻找图中最大独立集的算法时，有几种常见的方法：
- 寻找最小顶点覆盖法 ：先找到一个最小顶点覆盖（图中的一个顶点集，使得图中的每条边至少有一个端点在该集合中），然后通过取所有剩余的顶点来得到一个最大独立集。在这类算法中，运行时间的主要部分是寻找最小顶点覆盖的时间。
- 搜索树法 ：使用分支 - 归约范式。选择一个参数，如顶点数、边数等，作为问题规模的度量。当参数为零或负数时，问题可以在多项式时间内解决。将当前图G分支为几个图G1, G2, · · ·, Gl，使得图Gi的参数ri小于图G的参数r（i = 1, 2, · · ·, l），并且如果已知l个图G1, G2, · · ·, Gl中的每个图的最大独立集，就可以在多项式时间内找到G中的最大独立集。通过这种方法，我们可以构建一个搜索树，算法运行时间的指数部分对应于搜索树的大小。运行时间分析会为搜索树中的每个节点得到一个线性递推关系，可以使用标准技术来求解。

为了设计一个简单且快速的算法，我们使用r = sumv∈V (dv)作为度量来分析算法，其中dv = max(0, d(v) - 2)，d(v)是顶点v的度数。当图是三度图时，度量r就是图中三度顶点的数量。我们的算法运行时间为O∗(1.0885n)，略微改进了之前最好的已发表结果O∗(1.0892n)。

算法的预处理规则

我们的算法基于分支 - 归约范式，首先会应用一些归约规则来减小问题实例的规模。
- 折叠一度顶点 ：折叠一度顶点v意味着从图中移除v和u，其中u是v的唯一邻居。
- 折叠二度顶点 ：折叠二度顶点v（有两个邻居a和b）意味着：
- 当a和b相邻时，移除v、a和b。
- 当a和b不相邻时，移除v、a和b，并引入一个新顶点s，它与G中a和b的所有邻居（除了移除的顶点v）相邻。
- 折叠2 - 3结构、3 - 3结构或3 - 4结构 ：
- 2 - 3结构：若v和u是两个独立的三度顶点，且它们有三个共同邻居a、b和c，则这五个顶点构成2 - 3结构，记为{v, u}-{a, b, c}。
- 3 - 3结构：若v是三度顶点，u和w是两个相邻的度数≥3的顶点，且N(u) ∪ N(w) - {u, w} = N(v)，则这六个顶点构成3 - 3结构，记为{v, u, w}-{a, b, c}，其中{a, b, c} = N(v)。
- 3 - 4结构：若u、v和w是三个独立的度数≥3的顶点，设N(u, v, w) = N(u) ∪ N(v) ∪ N(w) - {u, v, w}，如果|N(u, v, w)| = 4，则这七个顶点构成3 - 4结构，记为{v, u, w}-{a, b, c, d}，其中{a, b, c, d} = N{u, v, w}。
- 折叠操作：设A - B是2 - 3结构、3 - 3结构或3 - 4结构。折叠A - B意味着：
- 当B不是独立集时，移除A ∪ B。
- 当B是独立集时，移除A ∪ B并引入一个新顶点s，它与B中顶点的所有邻居（除了移除的顶点）相邻。
- 支配规则 ：若有两个顶点v和u，使得N[u] ⊆ N[v]，则称u支配v。如果顶点v被图G中的任何其他顶点支配，那么α(G) = α(G - {v})。

一个图如果没有一度顶点、二度顶点、支配顶点、2 - 3结构、3 - 3结构或3 - 4结构，就被称为约简图。

这些归约规则可以用以下列表总结：
1. 折叠一度顶点
2. 折叠二度顶点
- 相邻邻居情况
- 不相邻邻居情况
3. 折叠2 - 3、3 - 3、3 - 4结构
- B非独立集情况
- B独立集情况
4. 支配规则

通过这些规则和算法，我们在连通反馈顶点集和三度图最大独立集问题的研究上取得了一定的进展，并且为相关问题的进一步研究提供了新的思路和方法。

连通反馈顶点集与三度图最大独立集算法研究（续）

归约规则的正确性分析

上述归约规则在算法中起着关键作用，下面对其正确性进行详细分析。
- 折叠一度和二度顶点 ：设α(G)表示图G的最大独立集的大小，G⋆(v)表示折叠一度或二度顶点v后的图。对于任何一度或二度顶点v在图G中，有α(G) = 1 + α(G⋆(v))。这是因为在折叠一度或二度顶点时，我们可以确定这些顶点及其相关邻居的选择情况，从而保证最大独立集的大小关系。
- 折叠2 - 3、3 - 3和3 - 4结构 ：
- 2 - 3和3 - 3结构 ：如果图G有2 - 3结构或3 - 3结构，那么α(G) = 2 + α(G⋆₂)，其中G⋆₂是折叠该结构后的图。这是基于对这些结构中顶点独立性和邻居关系的分析，存在一个最大独立集包含特定的顶点组合。
- 3 - 4结构 ：若图G有3 - 4结构，则α(G) = 3 + α(G⋆₃)，其中G⋆₃是折叠该结构后的图。同样，这是根据结构的特性确定最大独立集的大小变化。

这些规则的正确性可以用以下mermaid流程图来表示其逻辑关系：

graph TD;
    A[图G] --> B{是否有一度顶点};
    B -- 是 --> C[折叠一度顶点];
    B -- 否 --> D{是否有二度顶点};
    D -- 是 --> E[折叠二度顶点];
    D -- 否 --> F{是否有2 - 3、3 - 3或3 - 4结构};
    F -- 是 --> G[折叠相应结构];
    F -- 否 --> H{是否有支配顶点};
    H -- 是 --> I[应用支配规则];
    H -- 否 --> J[得到约简图];
    C --> D;
    E --> F;
    G --> H;
    I --> J;

分支规则与搜索树构建

在应用归约规则将图约简后，我们会应用分支规则来进一步求解最大独立集问题。
- 分支规则 ：选择一个合适的顶点或结构进行分支，将当前图G分支为几个子图G₁, G₂, · · ·, Gₗ。例如，我们可以选择一个三度顶点，分别考虑该顶点在独立集内和不在独立集内的情况，从而得到两个子图。
- 搜索树构建 ：以每个分支产生的子图为节点，构建搜索树。树的根节点是初始图G，每个节点的子节点是通过分支操作得到的子图。搜索树的大小决定了算法运行时间的指数部分。

具体的分支和搜索树构建流程如下：
1. 选择一个合适的分支顶点或结构。
2. 根据分支情况生成子图。
3. 对每个子图应用归约规则进行约简。
4. 重复步骤1 - 3，直到子图的问题规模可以在多项式时间内解决。

算法的复杂度分析

我们的算法在三度图中寻找最大独立集的运行时间为O∗(1.0885n)，这是通过对搜索树的大小进行分析得到的。
- 搜索树大小分析 ：设C(r)表示当图G的参数为r时搜索树的最坏情况大小。通过分支规则，我们得到递归关系C(r) ≤ ∑ₗᵢ₌₁ C(rᵢ)，其中rᵢ是子图Gᵢ的参数。求解这个递归关系，我们得到C(r) = [α(r, r₁, r₂, · · ·, rₗ)]ʳ，其中α(r, r₁, r₂, · · ·, rₗ)是函数f(x) = 1 - ∑ₗᵢ₌₁ x⁻ʳⁱ的最大根。
- 整体复杂度 ：由于我们使用r = sumv∈V (dv)作为度量，当图是三度图时，r就是三度顶点的数量。综合归约规则和分支规则的操作，算法的运行时间为O∗(1.0885n)，略微优于之前的最佳结果。

算法的应用拓展

我们的算法不仅在三度图最大独立集问题上有改进，还可以应用到其他相关问题中。例如，在三度图中解决k - 顶点覆盖问题（判断图是否有大小为k的顶点覆盖），可以利用最大独立集和顶点覆盖的关系，将问题转化为寻找最大独立集。通过我们的算法，k - 顶点覆盖问题在三度图中的运行时间为O∗(1.1849k)。

以下是算法在不同问题中的应用总结表格：
| 问题 | 原问题复杂度 | 应用本算法后的复杂度 |
| ---- | ---- | ---- |
| 三度图最大独立集问题 | 之前最佳O∗(1.0892n) | O∗(1.0885n) |
| 三度图k - 顶点覆盖问题 | 未提及 | O∗(1.1849k) |

通过以上的研究和算法设计，我们在图论中的连通反馈顶点集和三度图最大独立集问题上取得了一定的成果，并且为相关问题的解决提供了新的思路和方法。未来，我们可以进一步探索这些算法在更复杂图结构和其他相关问题中的应用。