4、单位圆盘图参数化算法与设施选址问题研究

单位圆盘图参数化算法与设施选址问题研究

在计算几何和图论领域，单位圆盘图相关问题的算法设计以及设施选址问题一直是研究的热点。下面将详细介绍单位圆盘图的分解定理及相关算法，还有设施选址问题中的 r - 聚集聚类和 r - 聚集问题。

团网格分解定理

为了在单位圆盘图上设计亚指数算法，引入了团网格图的概念。

• 团网格图的定义 ：一个图 G 是团网格图，如果存在函数 $f: V(G) \to [t] \times [t’]$（其中 $t, t’ \in N$），满足以下条件：
  1. 对于所有 $(i, j) \in [t] \times [t’]$，$f^{-1}(i, j)$ 是一个团。
  2. 对于所有 ${u, v} \in E(G)$，若 $f(u) = (i, j)$ 且 $f(v) = (i’, j’)$，则 $|i - i’| \leq 2$ 且 $|j - j’| \leq 2$。这样的函数 f 是 G 的一个表示。
• 单位圆盘图与团网格图的关系 ：可以证明单位圆盘图是团网格图，并且对于给定欧几里得平面上的点集 D 及其单位圆盘图 G，能在多项式时间内计算出 G 的表示 f。

为了进行动态规划算法，引入了 $\ell$-NCTD 的定义。

• $\ell$-NCTD 的定义 ：一个团网格图 G 具有表示 f 的树分解 $T = (T, \beta)$ 是一个良好的 $\ell$-团树分解，