NOI2021信息竞赛学习笔记

最新推荐文章于 2025-12-19 21:06:24 发布
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#线性代数 #图论 #算法

本文深入探讨了图论中的核心概念，如仙人掌问题、矩阵树定理和网络流，以及数据结构的高级应用，包括线段树、左偏树和树链剖分。同时，涵盖了数学领域的欧拉函数、线性筛和多项式计算技术，并涉及字符串处理的后缀数组和自动机。此外，还讲解了树上问题的解决策略以及一些通用算法如整体二分和cdq分治。

一.图论

1.仙人掌问题（圆方树）

2.矩阵树定理

3.网络流

4.基环树

二、数据结构

1.线段树

2.左偏树

3.树链剖分

4.主席树

5.树套树

6.长链剖分

7.LCT

三、数学

1.欧拉函数|（扩展）欧拉定理|欧拉反演

2.线性筛

3.莫比乌斯反演

4.FFT&NTT

5.生成函数

6.多项式全家桶

7.单位根反演

8.FWT

9.拉格朗日插值

10.线性基

11.burnside&polya

四、字符串

1.后缀数组

2.后缀自动机

3.序列自动机

4.manacher

5.回文自动机

五、树上问题

1.点分治

2.虚树

3.prufer序列

六、其他

1.整体二分

2.cdq分治

3.斯坦纳树

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人工智能之数学基础 线性代数：第五章 张量
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线性代数（八）非齐次方程组的解的结构
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如b的维度必然等于m，而线性无关的列向量数目为m，因此m个线性无关的列向量必然可以找到组合出m维的b的方法)。列满秩意味着所有列都是主列，不存在自由元，此时零空间只有零向量，则方程组的解只有特解，且特解仅有一个；进一步探讨方程组有解的条件，由之前的知识可知，b向量必须是A的列向量空间的子空间，方程组才有解；两组齐次方程组的基础解系加上一个非齐次方程组的特解，构成非齐次方程组的所有解（这里有一个有趣的问题，为什么非齐次方程组的解只需要一个特解呢？如果m=n,即m=r=n，系数矩阵A可逆，矩阵必然有唯一解。
【MongoDB实战】5.2 常用聚合阶段实战
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本文介绍了MongoDB聚合管道的核心阶段及其应用，包括$match数据筛选、$project字段投影、$group分组统计、$sort排序以及$limit/$skip分页操作。通过电商订单场景的实战案例，详细演示了各阶段的语法格式、使用技巧和注意事项。重点讲解了如何组合这些阶段实现复杂的数据处理流程，如先过滤再计算、字段重命名、动态计算字段、分组聚合统计等。文章强调性能优化要点，如将$match置于管道起始位置、避免低效写法等，为MongoDB数据分析提供了实用指南。
线性代数（七）主变量与特解
qq_56095294的博客
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其中I为二阶单位阵，F为自由列，不难注意到，F中的相反数构成了主元的解（课程中把这样形式的矩阵加做行最简矩阵，但国内的教材定义行最简矩阵并不要求把主列放在相邻的位置）。，对系数矩阵初等行变换时要同时对右侧的零向量进行变换，这等价于用一个结果为0的方程减去另一个结果为0的方程，显然结果仍然为0，那么解同样属于0空间。，I为r阶，R为n阶，则矩阵R表示有r个主元、r个主列、n-r个自由元、自由列。重新设定自由元的值，x2=0，x4=1，容易求出x1=2，x3=-2。，显然这个解可以张成一个子空间，即。
【Linear Mathematics | 线性代数 | Matrix Theory |矩阵论】RREF的Pivot（主元）是什么？怎么找主元？
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简单来说，**主元（Pivot）**就是 RREF（行最简形矩阵）中，每一行第一个非零的“1”。在 RREF 中，每一行最左边的那个“1”就是主元；这些“1”在哪一列，哪一列就是主元列。piovt: 在RREF（行最简行矩阵）中，每一行第一个非零的“1”，成为主元。“找主元”是矩阵运算中最基础也最核心的技能。在**“满秩分解”中非常关键。我们可以把找主元的过程想象成。
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