长链剖分总结

原创已于 2022-02-23 22:27:22 修改 · 289 阅读

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#长链剖分

于 2021-04-26 21:18:04 首次发布

这篇博客介绍了树剖和长链剖分两种数据结构在解决树上动态规划问题中的优化作用。通过实例解析了如何使用这两种方法来提升算法效率，包括在处理点对查询和求解子树距离分布问题中的应用。文章详细阐述了算法的思路、分析和代码实现，展示了如何利用这些技巧降低复杂度并节省空间。

【算法简介】

长链剖分的思想很简单，和树剖基本一致，就是把维护的子树节点最多改成了子树深度最大

这种数据结构一般用于优化动态规划（一般涉及了长度的dp）

【习题】

1.P3899 [湖南集训]谈笑风生

【题意】

求树上的三个点构成的点对(a,b,c)，给定a求满足a和b是c的祖先，a和b的距离不超过给定的k

【分析】

分类讨论

1.当b比a高时，c点的可能取值有siz[a]-1个，b的取值有min(dep[b],dep[a],k)种，相乘即可

2.当b比a低时，c点的可能取值有siz[b]-1个，b的取值为min(dep[叶子]-dep[a],k)，也是相乘

第一部分的贡献很好计算

计算第二部分贡献，发现每个节点的贡献可以赋给长儿子很多，所以用到了长链剖分来优化

维护一个后缀和，计算每个点的后缀和贡献

从链的最深点开始的点，第二部分贡献加上差分的和即可

注意实现过程中，因为要从父亲节点继承信息，所以开的数组要用指针版，方便赋值

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3e5+5;
typedef long long ll;
int head[maxn],n,m,tot;
ll siz[maxn],ans[maxn],tmp[maxn],*s[maxn],*temp=tmp;
struct edge
{
	int to,nxt;
}e[maxn<<1];
void add(int x,int y)
{
	e[++tot].to=y; e[tot].nxt=head[x]; head[x]=tot;
}
struct query
{
	int no,z;
};
vector <query> q[maxn];
int dep[maxn],son[maxn],md[maxn];
void dfs1(int x,int fa)
{
	dep[x]=md[x]=dep[fa]+1; siz[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int to=e[i].to;
		if(to==fa) continue;
		dfs1(to,x);
		siz[x]+=siz[to];
		if(md[to]>md[son[x]]) son[x]=to;
	}
	if(son[x]) md[x]=md[son[x]];
}
void dfs(int x,int fa)
{
	s[x][0]=siz[x]-1;
	if(son[x]) s[son[x]]=s[x]+1,dfs(son[x],x),s[x][0]+=s[son[x]][0];
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int to=e[i].to;
		if(to==fa || to==son[x]) continue;
		s[to]=temp; temp+=md[to]-dep[to]+1;
		dfs(to,x);
		for(int j=0;j<=md[to]-dep[to];j++) s[x][j+1]+=s[to][j];
		s[x][0]+=s[to][0];
	}
	for(int i=0;i<q[x].size();i++)
	{
		int no=q[x][i].no,y=q[x][i].z;
		ans[no]+=1LL*(siz[x]-1)*min(dep[x]-1,y);
		ans[no]+=s[x][0]-siz[x]+1;
		if(y<md[x]-dep[x])  ans[no]-=s[x][y+1];
	}
}
int main()
{
	freopen("longchain.in","r",stdin);
	freopen("longchain.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int x,y;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		q[x].push_back((query){i,y});
	}
	dfs1(1,0);
	s[1]=temp; temp+=md[1];
	dfs(1,0); 
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}

2.CF1009F Dominant Indices

【题意】

设 d(u,x) 为 u 子树中到 u 距离为 x 的节点数。对于每个点，求一个最小的 k，使得 d(u,k)最大。

【分析】

设计dp:

f[i][j]表示i子树中到i 的距离为j 的点的个数

在dp转移的时候，先做长儿子，每次处理完之后，直接把长儿子的信息向后错一位放到当前的f数组中，然后再把其他子树与当前暴力计算

我们在做dp的时候只对链的顶点申请内存，这样节省了很多空间，只需要开能放下一条链的长度即可O(N)

对于u的长儿子v，给v 的内存分配到f[u]+1上，即f[v=son[u]]=f[u]+1

然后去计算其他儿子的答案，对于u的非长儿子，为他申请内存f[v]=now , now+=dep[u]，大小为v为顶端的长链长度

在dfs(v)之后，暴力合并信息即可

void dfs2(int u,int fa)
{
    f[u][0]=1; // 先算上自己
    if (son[u])
    {
        f[son[u]]=f[u]+1; // 共享内存，这样一步之后，f[son[u]][dep]会被自动保存到f[u][dep-1]
        dfs2(son[u],u);
    }
    for (int e=head[u];e;e=nex[e])
    {
        int v=tail[e];
        if (v==son[u] || v==fa) continue;
        f[v]=now;now+=dep[v]; // 为 v 节点申请内存，大小等于以 v 为顶端的长链的长度
        dfs2(v,u);
        for (int i=1;i<=dep[v];i++)
        {
            f[u][i]+=f[v][i-1]; //暴力合并
        }
    }
}

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3e5+5;
typedef long long ll;
int head[maxn],n,m,tot;
ll siz[maxn],ans[maxn],tmp[maxn],*s[maxn],*temp=tmp;
struct edge
{
	int to,nxt;
}e[maxn<<1];
void add(int x,int y)
{
	e[++tot].to=y; e[tot].nxt=head[x]; head[x]=tot;
}
struct query
{
	int no,z;
};
vector <query> q[maxn];
int dep[maxn],son[maxn],md[maxn];
void dfs1(int x,int fa)
{
	dep[x]=md[x]=dep[fa]+1; siz[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int to=e[i].to;
		if(to==fa) continue;
		dfs1(to,x);
		siz[x]+=siz[to];
		if(md[to]>md[son[x]]) son[x]=to;
	}
	if(son[x]) md[x]=md[son[x]];
}
void dfs(int x,int fa)
{
	s[x][0]=siz[x]-1;
	if(son[x]) s[son[x]]=s[x]+1,dfs(son[x],x),s[x][0]+=s[son[x]][0];
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int to=e[i].to;
		if(to==fa || to==son[x]) continue;
		s[to]=temp; temp+=md[to]-dep[to]+1;
		dfs(to,x);
		for(int j=0;j<=md[to]-dep[to];j++) s[x][j+1]+=s[to][j];
		s[x][0]+=s[to][0];
	}
	for(int i=0;i<q[x].size();i++)
	{
		int no=q[x][i].no,y=q[x][i].z;
		ans[no]+=1LL*(siz[x]-1)*min(dep[x]-1,y);
		ans[no]+=s[x][0]-siz[x]+1;
		if(y<md[x]-dep[x])  ans[no]-=s[x][y+1];
	}
}
int main()
{
	freopen("longchain.in","r",stdin);
	freopen("longchain.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int x,y;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		q[x].push_back((query){i,y});
	}
	dfs1(1,0);
	s[1]=temp; temp+=md[1];
	dfs(1,0); 
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}