LCT

【算法简介】

又是一个大数据结构！

简单的说，LCT是维护了一个森林，每个树都是一棵splay，由虚边连接着各个树

支持操作：

• 查询、修改链上的信息（最值，总和等）
• 随意指定原树的根（即换根）
• 动态连边、删边
• 动态维护连通性

性质：

每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。

边分为实边和虚边，实边包含在Splay中，而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点（指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。

操作函数：

1.access

access即为打通根节点到指定节点的实链，使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的Splay出现。

实现方式：

1. 转到根
2. 换儿子
3. 更新信息
4. 当前操作点切换为轻边所指的父亲，转1

void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=fa(x))
        splay(x),rc(x)=y,pushup(x);
}

2.makeroot

makeroot旨在将指定节点转换为原树的根

void pushrev(int x)
{
    swap(lc(x),rc(x));
    tr[x].rev^=1;
}
void makeroot(int x)
{
    access(x); splay(x);
    pushrev(x);
}

3.findroot

findroot找到原树的根，一般用于判断连通性

int findroot(int x)
{
    access(x); splay(x);
    while(lc(x)) pushdown(x),x=lc(x);
    splay(x);
    return x;
}

4.split

split是把x-y的路径取出来

void split(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    access(y); splay(y);
}

5.link

连接x-y的边

void link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x) return;//保证连边合法时不用加
    fa(x)=y;
}

6.cut

断开x-y的边

void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x || tr[x].siz>2) return;//保证断边合法时不用加
    fa(y)=rs(x)=0;
    pushup(x);
}

【习题】

1.P2387 [NOI2014] 魔法森林

这个是经典的LCT操作，不断加边，直到出现环，断一条环上最劣边继续维护即可

sol

2.P4219 [BJOI2014]大融合

典型的LCT维护子树信息，注意下access和link操作时候对虚儿子信息的影响

sol