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原创 数论学习笔记
前情提要：某个上午，xtr 教练给我们恶补了一下数论。没错，这整篇文章就是他恶补的内容。注：这里面大部分内容我都不给出证明，因为实在太多内容要写了/kk。
2025-07-16 09:25:39
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原创 cdq 三维偏序应用 / P4169 [Violet] 天使玩偶/SJY摆棋子
那么该怎么处理其他方面的点呢：左上方、右下方、右上方？从左下方通过坐标变换旋转一下就可以同样处理了。最近学了 cdq 分治想来做做这道题，结果被有些毒瘤的代码恶心到了。显然一开始给定的点可以看作是一开始的修改。这不就是三维偏序吗！所以直接使用 cdq 三维偏序即可。题目大意：一开始给定一些平面中的点。代码可能有点难写，但是有很长一段都是很基础的。是一个询问的点，那么在其左下方的点中（），若要使其询问的答案最小，显然需要使。的值最大，这个是可以预处理出来的。的左下方的情况即可！左下方的这种情况下，
2025-06-27 10:10:58
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原创 cdq 分治学习笔记
前情提要：省选模拟赛 T1 势如猛虎，拼尽全力无法战胜。。赛后才发现这个东西是整体二分。然后就想到了 CDQ 分治，准备一起学了。cdq 就是发明者陈丹绮的名字缩写。感觉这人很牛。啥时候才能有 wsx 分治啊？很显然 cdq 分治就是分治的一种方法，准确来说是一种思想。进入主题。
2025-06-26 08:14:53
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原创 最大闭合子图学习笔记 / P2805 [NOI2009] 植物大战僵尸
最大闭合子图是网络流中的一个小分支，感觉有点冷门。但是实际上却非常有用。前置知识：最大流，最大流最小割定理。最大闭合子图就是在一个带点权的有向图的闭合子图中的一个方案。显然环（更加严谨的，强连通分量）一定是闭合的，所以我们可以考虑将环缩点，将原图变成一个 DAG，这样显然会更加好一点。那么问题就变成了如何对一个 DAG 求最大闭合子图。这里我们配合网络流来求解。
2025-06-13 09:10:00
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原创 费用流学习笔记
前面我们已经讲过了最大流和最小割，现在我们来讲费用流。这个时候一条边不止有一个容量，还有一个费用。这个费用表示的是我们要求的问题是这样的：给定一个预算，每一条边通过一个单位流量都有一个费用，也有一个通过流量上界，求在最大流前提下，总费用的最小值或者是最大值。假设有这个图：将橙色的字表示为容量，黄色字表示费用。如果这个时候我们不考虑费用流，只考虑最大流，很容易发现这个图的最大流为4。这个时候我们有两种路径可以走，很显然下面更加便宜一点。（因为性价比比较高）如果下面走了3的流量，费用就是3。
2025-06-11 10:12:23
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原创 P4311 士兵占领 题解 - 上下界网络流
使用源点来向各个行来发送士兵，使用汇点从各个列来聚集士兵。因为在任何时候 所有行的士兵数的和 等于所有列的士兵数的和。从源点到行的容量很显然是这样子的：下界是输入给定的至少要放的士兵数，上界是这一行除了那些不能放士兵的格子以外还能放多少。从列到汇点的容量是这样子的：下界是输入给定的至少要放的士兵数，上界是这一列除了那些不能放士兵的格子以外还能放多少。看到这种最小方案分配的问题，先考虑动态规划或者是贪心，发现不可以解决。（如果这个 trick 不会也没有关系，以后就要会了）的容量是这样子的：下界为。
2025-06-11 10:11:50
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原创 浅谈上下界网络流
这个时候，不止有流量的上界，还有了流量的下界。所以这个东西理所应当难一些些。我们采用这样的一种方式：先找出可行流，然后再考虑找出这些可行流里面权值最大的。
2025-06-10 09:08:25
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原创 图论学习笔记 4 - 仙人掌图
先扔张图：为了提前了解我们采用的方法，请先阅读《图论学习笔记 3》。仙人掌图的定义：一个连通图，这个图就是仙人掌图。这个图也是仙人掌图。而这个图就不是仙人掌图了。很容易发现，仙人掌图就是在树上连了若干条边（≥1条）。所以可以视为众所周知，我们通过想象基环树的深搜树形态解决了基环树的一些问题，所以也考虑想象仙人掌图的深搜树。这里就直接给图了：很容易发现以下性质：仙人掌图中，每一条回边互不相交且与环一一对应，环由回边与祖先到子孙的链构成。（这个比较显然，可以简单理解）任何一个环的up。
2025-05-27 08:03:10
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原创 图论学习笔记 3
首先需要了解一些定义。基环树：直白来讲就是一棵树，然后把其中某两个没有边的点连边，得到了基环树。而基环树又分有向和无向。**无向基环树：**就是nnn点nnn边的连通图。至于为什么nnn点nnn边的连通图就一定有一个环，而且去掉一条边之后会变成一棵树，可以感性理解。首先这个有向图是弱连通的，而且恰好有一个有向环。如果其他点都可以到环，则称为内向基环树。如果其他点都可以被环到，则称为外向基环树。否则就不是有向基环树。内向基环树：每一个点出度恰好为111，且图弱连通。
2025-05-20 14:26:19
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原创 树上背包学习笔记
树上背包，顾名思义，就是在树上跑背包。Q：那么到底为什么要树上跑呢？A：因为我们到现在学的背包 dp 还是属于较浅的一类，什么 01 背包、完全背包还是多重背包，不如先看一个引入题。
2025-05-06 17:36:07
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原创 树的序列化 - 学习笔记
树的序列化可以有很多种类：可以变成 dfs 序，可以变成欧拉序，还有什么括号序的科技。但是除了第一个以外其他的都没什么用（要么也可以被已有的算法给替代掉）。所以表面上是讲树的序列化，实际上还是讲的 dfs 序的运用（dfs 序的基础知识没什么，但是其运用可以变得相当毒瘤）。
2025-04-30 16:41:40
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原创 Atcoder Beginner Contest 403 A to E、G 题解
前情提要：AC ABCDEG，首次拿下金名表现分。如果 F 能及时调出来那就更好了。F 会单开一篇文章，如果你下面的思路没有看懂，看代码也没有关系。
2025-04-28 08:45:35
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原创 启发式合并学习笔记
字数：10292.以“启发式”来命名的算法有很多，有进阶搜索——启发式搜索，还有一个东西叫做，还有一个是，这两个东西这篇文章都会讲。引用一句 OIwiki 上面的话：启发式算法是基于人类的经验和直观感觉，对一些算法的优化。简称人类智慧乱搞。
2025-04-23 11:32:56
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原创 线性基学习笔记
线性基有着一个奇怪的名字，异或线性基也有着奇怪的定义。那么异或线性基是啥东西呢？直接搬定义：线性基是一个数的集合（这就不只是异或线性基了！），并且每一个序列都至少拥有一个线性基。取异或线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。这个条件不是什么时候都可以满足，于是我们在之后会详细讲异或线性基的构造方案，以满足这个定义和后面的三大性质。
2025-04-22 10:23:02
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原创 SG 理论学习笔记
SG 理论是博弈论中的另一个知识点，SG 理论也有地方说是 SG 函数，不过都是一个东西。书接上回，这一篇我们继续探讨 ICG 游戏，所以请先阅读 博弈游戏学习笔记。SG 函数用来解决一些很复杂的 ICG 游戏问题。例如，有一个 ICG 游戏：Alice 和 Bob 正在一场组合游戏，这个游戏由7个 DAG 博弈、3个 Bash 博弈、7个威佐夫博弈、4个斐波那契博弈……组成。这是什么啊？？？你给我单个博弈游戏还可以，但是这堆东西组合起来是什么东西？？
2025-04-17 10:33:18
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原创 简单博弈论学习笔记
博弈游戏，也有很多人把它叫做博弈论，但是博弈论的英文确实和 Game 这个词有关，所以也可以说是博弈游戏可以看作是一个（例如 数论、图论、或者是概率论），它的板块非常非常大。所以这篇文章所写的可能只是很小的一部分，这里先开一个坑，我以后再来填写。如果我没有听错的话，博弈游戏的全部介绍的书，好像有 800 多页。所以我们这些人学的都是冰山一角。
2025-04-15 11:53:15
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原创 2-SAT 学习笔记
2-SAT 是一种，其中 SAT 代表也就是说有一些限制，需要构造出答案使得所有的限制都满足。可能无解。结合一下生活情景，你是否在逻辑推理的时候遇到这种题：有 A,B,C,D,E,F,G 七个人，每个人要么去吃饭，要么就不去。请根据一下限制判断每个人去不去：B 去则 A 不去C 必须去D,E 恰好去一个E,F,G 不能去两个这是一种非常实用的问题了。但是 2-SAT 问题在限制上还加了一个限制，就是（这也是 2-SAT 中 2 的来源）然而，第四个限制涉及到了3。
2025-04-08 10:49:07
914
原创 图论学习笔记2
请先阅读图论学习笔记 1。在这篇文章里，我们将继续以前 tarjan 求解的强连通分量和双连通分量，讲解其缩点相关内容。也会讲解一些特殊的图：基环树与仙人掌图、最小树形图。
2025-04-07 16:20:04
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原创 圆方树学习笔记
首先，圆方树和差不多，，然后在上面跑各种乱七八糟的算法：LCA、DP、甚至树链剖分……但是，圆方树和 Kruskal 重构树所基于的东西不同：Kruskal 重构树是基于的，而圆方树是基于的不会 Kruskal 重构树？不用担心，你以后会学到，这里也不会讲 Kruskal 重构树。不会点双连通分量？不用担心，你可以见我的其他文章，但是你确实一定得会。圆方树，顾名思义，包含两种点，一个是圆点，另一个是方点。圆点代表原图中的点，方点代表原图中的点双连通分量。
2025-04-04 11:17:08
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原创 二分图学习笔记
使用题单：二分图 - 从入门到入土。对于一个图，如果能够把它的点集恰好分成两个部分，使得这第一个部分里面的点两两不连边，第二个部分里面的点也两两不连边，则该图是二分图。或者说每一条边都横跨了两个集合。举个例子：这个图是二分图，因为我们可以将它分成 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}{1,3,5,7} 和 {2,4,6}\{2,4,6\}{2,4,6} 两个点集：但是这个图：可以发现这个图无论如何也无法划分点集，所以这个图不是二分图。还是给一下不说人话的形式化定义：注意，二分图可以不是连通图。很容易想到
2025-04-02 08:34:06
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原创 差分约束学习笔记
如果一个有n个变量x1x2,⋅⋅⋅,xn和m个约束条件（也是不等式）和**m个常量w1w2,⋅⋅⋅,wmxi−xj≤wk1≤ij≤n1≤k≤m差分约束系统。**这个名字的由来是这样的：“差分”代表的是每一个约束条件里面都是做差的形式，“约束”代表的是每一个差都有一个最大值上界作为约束，“系统”字面意思。有如下几个问题：1.有没有解2.求一组解3.一组变量（a−b）的极值。
2025-04-02 08:33:26
474
原创 口胡的，一些结论的证明
而在叶子节点之间加边顺便还包含了父亲节点，一旦加了边，就会添加一个环，那么这个环上的边，都不可能成为桥了，因此考虑在叶节点之间加边即可。但是，点双连通分量指的是极大联通分量，所以这几个合起来的分量才是真正的点双连通分量。但是，点双连通分量指的是极大联通分量，所以这几个合起来的分量才是真正的点双连通分量。那么这几个分量合起来也应该合法，因为去掉一个点，而且这几个都是合法的，那么去掉之后一定联通。那么这几个分量合起来也应该合法，因为去掉一个点，而且这几个都是合法的，那么去掉之后一定联通。
2025-03-22 21:15:34
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原创 解交互题时如何规划交互流程
在竞赛中，交互题通常会有特定的交互协议，以下以一个简单的询问式交互题为例，题目要求在一个 1 - n 的整数序列中找出目标数字。评测系统会根据你的询问返回信息。通过以上不同场景的示例，你可以看到规划交互流程的关键在于明确每个阶段的任务、输入输出内容以及状态的转换，这样才能有条不紊地解决交互题。以一个简单的猜数字游戏为例，目标是让用户猜出一个 1 - 100 之间的随机数，程序需要根据用户的猜测给出提示。以一个点菜系统为例，用户可以多次点菜、修改订单、结算。
2025-03-04 08:06:32
576
原创 C++交互题是什么？如何去解交互题？
C++ 交互题是一类在程序运行过程中，需要与用户或评测系统进行数据交互的题目。与普通编程题不同，交互题不是一次性读取所有输入并输出结果，而是在运行时动态地接收输入、给出输出，就像人和人对话一样有来有往。比如常见的场景有用户输入数据，程序根据输入进行计算并返回结果；或是程序向评测系统询问某些信息，再根据反馈继续执行。
2025-03-04 07:45:06
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原创 信息学竞赛练习方法：从 Codeforces 评级 1000 到 2000
（另外，抱歉我的英语水平有限。AtCoder 有 ABC（AtCoder 初学者竞赛）、ARC（AtCoder 常规竞赛）和 AGC（AtCoder 重大竞赛），但在这篇博客中，我只介绍 ABC 和 ARC。ABC 的题目分别是 ABC - A、ABC - B、ABC - C、ABC - D，ARC 的题目分别是 ARC - C、ARC - D、ARC - E、ARC - F。在每场竞赛中，ABC - C 和 ARC - C 是同一难度的题目，ABC - D 和 ARC - D 也是同一难度的题目。
2025-02-21 15:48:04
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原创 三分算法学习笔记
二分算法，顾名思义，就是每一次将区间分成 2 个一样的区间。三分算法，同样顾名思义，就是每一次将区间分成 3 个一样的区间。三分算法主要用来求解一些关于单调函数的问题。 而且考试中有一定的几率考到。二分算法主要用来求一些简单的最值问题，例如在一些一次函数上。三分算法主要用来求一些凹函数和凸函数的最值问题，典型地，在一些二次函数上，甚至是高次函数。凸函数的定义：学术描述：对此函数进行二次求导，最后的值恒 <0<0<0。人话描述：先上升后下降的函数。凹函数的定义就是先下降后上升的函数。当然，函数的形状各种各样，
2025-02-15 10:03:18
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原创 P3700 [CQOI2017] 小 Q 的表格 题解
至此我们发现上面的发现和公式就已经可以完整概括题目中的两个式子了，所以我们可以忽略题目中给出的两个式子，考虑答案是什么。欧拉函数只能处理互质的个数，但如果需要处理互质的数的和，该怎么办呢？的一段区间的区间和，秉承着不能增高复杂度的原则，求一段区间和的时间复杂度必须是。的，而单点修改却绰绰有余，那么我们可不可以均摊一下，将单点修改变成。首先考虑哪些格子会互相修改，也就是修改了其中的一个就会修改另一些。我们的答案就是这个式子，感觉已经简单了许多，这都是推式子的功劳。的数据结构，每一次查询一个区间的和。
2025-07-16 11:08:35
940
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