线性筛

最新推荐文章于 2023-08-02 20:56:40 发布

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#数学 #线性筛

这篇博客介绍了线性筛算法在计算积性函数中的应用，如欧拉函数、莫比乌斯函数等，并提供了相应的筛法实现。通过线性筛，可以在O(n)的时间复杂度内高效求解这些函数，对于理解和优化数论算法有重要意义。

【算法简介】

线性筛主要用于O(n)计算积性函数

积性函数主要有：

还有当f(x)和g(x)都是积性函数时，狄利克雷卷积也是积性函数可以进行线性筛

【素数筛】

void shai()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!np[i])
			p[++pcnt]=i;
		for(int j=1;j<=pcnt && p[j]*i<=n;j++)
		{
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}

【欧拉筛】

void shai()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!np[i])
		{
			p[++pcnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=pcnt && p[j]*i<=n;j++)
		{
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
}

【莫比乌斯函数筛】

void shai()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!np[i])
		{
			p[++pcnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=pcnt && p[j]*i<=n;j++)
		{
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			else
				mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
}