22、复环面与椭圆曲线的同构关系及相关性质

复环面与椭圆曲线的同构关系及相关性质

1. 双周期函数与除子序列

若(\omega \in L)，对于函数(f(z))，有(\frac{f(z + \omega)}{f(z)} = e^{a_{\omega}z + b_{\omega} - a_{\omega}(z - \ell) - b_{\omega}} e^{\sum n_i(a_{\omega}(z - w_i) + b_{\omega})} = 1)，因为(\sum n_i = 0)且(\sum n_iw_i = \ell)，所以(f(z))是双周期函数，其除子为(D)，即(D)是一个函数的除子。

双周期函数可看作环面(\mathbb{C}/L)上的函数，除子也可看作(\mathbb{C}/L)的除子。设(\mathbb{C}(L)^{\times})表示不恒为零的双周期函数，(\text{Div}^0(\mathbb{C}/L))表示次数为(0)的除子，则有正合序列：
[0 \longrightarrow \mathbb{C}^{\times} \longrightarrow \mathbb{C}(L)^{\times} \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}^0(\mathbb{C}/L) \xrightarrow{\text{sum}} \mathbb{C}/L \longrightarrow 0]
“sum”函数将除子中代表点的复数模(L)相加。(\mathbb{C}(L)^{\times})处的正合性表明，没有零点和极点（即除子为(0)）的函数是常数；(\text{Div}^0(\mathbb{C}/L))处的正合性由定理给出；“sum”函数的满射性较容易证明，若(w \in