29、椭圆曲线的泰特 - 利希滕鲍姆配对与同构映射理论

椭圆曲线的泰特 - 利希滕鲍姆配对与同构映射理论

1. 泰特 - 利希滕鲍姆配对的非退化性

在研究椭圆曲线的过程中，泰特 - 利希滕鲍姆配对是一个重要的概念，我们首先来证明它的非退化性。

设 (n \geq 1)，(A) 和 (B) 是两个有限阿贝尔群（加法表示），满足对所有 (a \in A) 有 (na = 0)，对所有 (b \in B) 有 (nb = 0)。(\langle, \rangle: B \times A \to \mu_n) 是一个双线性配对。若固定 (a \in A)，则 (\psi_a: b \to \langle b, a \rangle) 给出了一个从 (B) 到 (\mu_n) 的同态。

下面是一些相关的引理和结论：
- 引理 11.26 ：若 (B) 是有限群，且对所有 (b \in B) 有 (nb = 0)，则 (#\text{Hom}(B, \mu_n) = #B)。
- 证明：首先假设 (B = \mathbb{Z} m)，(m \mid n)。若 (\alpha \in \text{Hom}(B, \mu_n))，则 (\alpha(1)^m = \alpha(1 + \cdots + 1) = \alpha(0) = 1)，所以 (\alpha(1)) 是 (\mu_m \subseteq \mu_n) 中的 (m) 个元素之一。由于 (1) 生成 (\mathbb{Z}_m)，(\alpha(1)) 的值决定了所有 (b) 的 (\alpha(b))。而且，任何 (\alpha(1) \in \mu_m) 的选择都通过 (b \to \alpha(1)^b) 确定了