17、椭圆曲线在数论中的应用与性质研究

椭圆曲线在数论中的应用与性质研究

1. 椭圆曲线在因式分解与素性测试中的应用

在数论研究里，椭圆曲线有着广泛的应用，特别是在因式分解和素性测试方面。

首先来看因式分解。存在一个从集合$Ens = E(Z_n) \setminus (0, 0)$到作为加法群的$Z_n$的同构。随机点$P$对应随机整数$a \bmod n$，计算$(B!)P$相当于计算$(B!)a \bmod n$。当且仅当$p \leq B$时，$(B!)P = \infty \bmod p$，这本质上可归结为最简单的因式分解方法：用小于等于$B$的每个素数去除$n$。若用小于等于$B$的素数之积$Q$代替$B!$，计算$\gcd(Q, n)$通常比逐个尝试素数更快。

接着是素性测试。对于几百位十进制数的整数$n$，判断其是素数还是合数通常较容易，但要证明判断结果的正确性则有难度。若$n$是合数，通常能找到非平凡因子或使其伪素性测试不通过；若$n$是素数，证明就复杂多了。对于几百位的素数，Cohen和Lenstra开发的涉及Jacobi和的方法效果不错；对于上千位的素数，目前最流行的方法涉及椭圆曲线。

椭圆曲线素性测试是经典Pocklington - Lehmer素性测试的椭圆曲线版本。下面是相关命题及证明：
- 命题7.1 ：设$n > 1$为整数，且$n - 1 = rs$，其中$r \geq \sqrt{n}$。对于每个整除$r$的素数$\ell$，若存在整数$a_{\ell}$使得$a_{\ell}^{n - 1} \equiv 1 \bmod n$且$\gcd(a_{\ell}^{(n - 1) / \ell} - 1, n) =