31、椭圆曲线与超椭圆曲线的同构及除子理论

椭圆曲线与超椭圆曲线的同构及除子理论

在数学领域，椭圆曲线和超椭圆曲线的研究具有重要意义，涉及同构、除子等多个关键概念。下面将详细介绍这些概念及其相关理论。

椭圆曲线同构相关理论

在椭圆曲线理论中，同构是一个核心概念。对于椭圆曲线(E_1)和(E_2)，如果它们在(F_q)上同构，那么(#E_1(F_q) = #E_2(F_q))，反之，若(#E_1(F_q) = #E_2(F_q))，则(E_1)和(E_2)在(F_q)上同构，这一惊人的结论由Tate证明。在(\mathbb{Q})上也有类似情况，Faltings在1983年证明了若椭圆曲线(E_1)和(E_2)的(L) - 级数相等，则它们在(\mathbb{Q})上同构。

对于(\Phi_{\ell}(j, T))的根相关情况，存在三种不同情形。在所有情形下，((\varphi) {\ell})的特征值（或情形(1)中的对角元素）为(\lambda)和(\mu = p / \lambda)，且(a = Trace((\varphi) {\ell}) = \lambda + \mu)。通过一系列推导可得(\lambda^{2r} = p^r)，进而(\lambda^2 = p\zeta)，其中(\zeta)是(r)次单位根。在情形(2)或(3)中，若(\zeta^k = 1)（(k < r)）会导致矛盾，所以(\zeta)是本原(r)次单位根。

根据不同情形，素数(\ell)可分为Elkies素数（对应情形(1)和(2)）和Atkin素数（对应情形(3)）。Atkin素数对(a \bmod \ell)的值有一定限制，但比Elkies素数允许更多可能性。Atkin还展示了如何结合