9、有限域上椭圆曲线的点计数与相关性质

有限域上椭圆曲线的点计数与相关性质

1. 椭圆曲线存在性定理

1.1 定理 4.3

设 (q = p^n) 是素数 (p) 的幂，(N = q + 1 - a)。存在定义在 (F_q) 上的椭圆曲线 (E) 使得 (#E(F_q) = N)，当且仅当 (|a| \leq 2\sqrt{q}) 且 (a) 满足以下条件之一：
1. (\gcd(a, p) = 1)
2. (n) 为偶数且 (a = \pm 2\sqrt{q})
3. (n) 为偶数，(p \not\equiv 1 \pmod{3})，且 (a = \pm\sqrt{q})
4. (n) 为奇数，(p = 2) 或 (3)，且 (a = \pm p^{\frac{n + 1}{2}})
5. (n) 为偶数，(p \not\equiv 1 \pmod{4})，且 (a = 0)
6. (n) 为奇数且 (a = 0)

1.2 定理 4.4

设 (N) 是如定理 4.3 中所述的有限域 (F_q) 上椭圆曲线的阶。将 (N = p^e n_1 n_2) 写成 (p \nmid n_1 n_2) 且 (n_1 \mid n_2)（可能 (n_1 = 1)）的形式。存在 (F_q) 上的椭圆曲线 (E) 使得 (E(F_q) \simeq \mathbb{Z} {p^e} \oplus \mathbb{Z} {n_1} \oplus \mathbb{Z}_{n_2})，当且仅当：
1. 在定理 4.3 的情况 (1)、(3)、(4)、(5)、(6) 中，(n_1 \mid q - 1)
2. 在