13、聚类算法：原理、应用与实践

聚类算法：原理、应用与实践

1. 聚类的概念

聚类是一种将数据点或对象分组的方法，在生活中很常见，比如图书馆使用的杜威十进制分类法就是聚类的一种形式。它通过为书籍分配具有不同粒度的编号，对图书馆的管理进行了革新。这种将数据点（如书籍）分类成组的思想，对于组织信息非常有用。在聚类问题中，我们往往不知道数据点具体应属于哪个类别，只是希望将它们划分成若干类别。

2. 用户群组划分

2.1 群组划分的意义

在商业和营销领域，将用户划分为不同的群组（即聚类）具有重要意义。例如，第一个客户与第一万个或第一百万个客户可能存在很大差异。通过根据用户的行为和注册时间等因素将客户有效地划分到不同的群组中，我们可以制定多样化的营销策略，从而更好地服务客户。

2.2 数据收集与分析

假设我们在过去两年中收集了 10 个用户的相关数据，包括注册日期、消费金额和喜欢的颜色，具体数据如下表所示：
| 用户 ID | 注册日期 | 消费金额 | 喜欢的颜色 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | Jan 14 | $40 | N/A |
| 2 | Nov 3 | $50 | Orange |
| 3 | Jan 30 | $53 | Green |
| 4 | Oct 3 | $100 | Magenta |
| 5 | Feb 1 | $0 | Cyan |
| 6 | Dec 31 | $0 | Purple |
| 7 | Sep 3 | $0 | Mauve |
| 8 | Dec 31 | $0 | Yellow |
| 9 | Jan 13 | $14 | Blue |
| 10 | Jan 1 | $50 | Beige |

通过观察这些数据，我们发现喜欢的颜色对于用户群组划分并没有实际意义，因此主要考虑消费金额和注册日期这两个因素。从数据中可以看出，存在消费和不消费的用户群体，并且在注册日期方面，年初、年末以及九月、十月、十一月左右注册的用户较多。

2.3 手动群组划分

由于数据集较小，我们决定将用户划分为两个群组，划分结果如下表所示：
| 用户 ID | 注册日期（距 Jan 1 的天数） | 消费金额 | 群组 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | Jan 14 (13) | $40 | 1 |
| 2 | Nov 3 (59) | $50 | 2 |
| 3 | Jan 30 (29) | $53 | 1 |
| 4 | Oct 3 (90) | $100 | 2 |
| 5 | Feb 1 (31) | $0 | 1 |
| 6 | Dec 31 (1) | $0 | 1 |
| 7 | Sep 3 (120) | $0 | 2 |
| 8 | Dec 31 (1) | $0 | 1 |
| 9 | Jan 13 (12) | $14 | 1 |
| 10 | Jan 1 (0) | $50 | 1 |

这样，我们将客户分为了两个群组：群组 1 包含七个客户，可称为“年初注册”用户；群组 2 包含另外三个客户。

3. K-Means 聚类

3.1 算法概述

K-Means 聚类是一种常见的聚类算法。它使用预定义的 K 值（即要划分的聚类数量），通过寻找数据集中最优化的聚类中心来进行聚类。K-Means 聚类的优点是聚类结果严格且呈球形，并且算法能够收敛到一个解。

3.2 算法步骤

K-Means 算法的具体步骤如下：
1. 从数据集中随机选择 K 个点作为初始聚类中心。
2. 对于数据集中的每个点，将其分配到距离最近的聚类中心所在的聚类中。
3. 根据分配到每个聚类中的点，更新聚类中心的位置，即计算这些点的均值。
4. 重复步骤 2 和 3，直到聚类中心不再移动。

3.3 距离计算方法

在 K-Means 聚类中，有多种计算距离的方法，常见的有：
- 曼哈顿距离：$d_{manhattan}(x, y) = \sum_{i = 1}^{n} |x_i - y_i|$
- 欧几里得距离：$d_{euclid}(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_i - y_i)^2}$
- 闵可夫斯基距离：$d(x, y) = (\sum_{i = 1}^{n} |x_i - y_i|^p)^{\frac{1}{p}}$
- 马氏距离：$d(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_i - y_i)^2}{s_i^2}}$

3.4 算法缺点

K-Means 聚类也存在一些缺点。首先，它要求每个数据点只能属于一个聚类，不能处于两个聚类的边界之间；其次，由于大多数情况下使用欧几里得距离，K-Means 更适合处理球形数据。当数据分布较为复杂时，其缺点会更加明显，例如在某些情况下，数据点可能难以明确划分到某个聚类中。

4. 期望最大化（EM）聚类

4.1 算法概述

与 K-Means 聚类不同，期望最大化（EM）聚类关注的是解决另一个问题。当我们希望将数据点划分为两个或多个聚类时，EM 聚类并不追求明确的聚类边界，而是希望得到每个数据点属于每个聚类的概率。它对于处理没有明确边界的数据分类问题非常有用。

4.2 算法步骤

EM 算法分为两个步骤：
1. 期望步骤 ：根据当前数据和初始的概率向量 $z_k$ 计算每个数据点属于每个聚类的概率。具体来说，我们需要计算对数似然函数 $Q(\theta \parallel \theta_t) = E_{Z \parallel X, \theta_t} [\log L(\theta; X, Z)]$。
2. 最大化步骤 ：找到使概率 $Q(\theta \parallel \theta_t)$ 最大化的参数 $\theta$，即 $\theta_t = \arg \max_{\theta} Q(\theta \parallel \theta_t)$。

4.3 算法实现

以下是使用 Ruby 实现 EM 聚类的部分代码：

# lib/em_clusterer.rb
require 'matrix'
class EMClusterer
  attr_reader :partitions, :data, :labels, :classes
  def initialize(k, data)
    @k = k
    @data = data
    setup_cluster!
  end
  def setup_cluster!
    @labels = Array.new(@data.row_size) { Array.new(@k) { 1.0 / @k }}
    @width = @data.column_size
    @s = 0.2
    pick_k_random_indices = @data.row_size.times.to_a.shuffle.sample(@k)
    @classes = @k.times.map do |cc|
      {
        :means => @data.row(pick_k_random_indices.shift),
        :covariance => @s * Matrix.identity(@width)
      }
    end
    @partitions = []
  end
  def expect
    @classes.each_with_index do |klass, i|
      puts "Expectation for class #{i}"
      inv_cov = if klass[:covariance].regular?
        klass[:covariance].inv
      else
        puts "Applying shrinkage"
        (klass[:covariance] - (0.0001 * Matrix.identity(@width))).inv
      end
      d = Math::sqrt(klass[:covariance].det)
      @data.row_vectors.each_with_index do |row, j|
        rel = row - klass[:means]
        p = d * Math::exp(-0.5 * fast_product(rel, inv_cov))
        @labels[j][i] = p
      end
    end
    @labels = @labels.map.each_with_index do |probabilities, i|
      sum = probabilities.inject(&:+)
      @partitions[i] = probabilities.index(probabilities.max)
      if sum.zero?
        probabilities.map { 1.0 / @k }
      else
        probabilities.map {|p| p / sum.to_f }
      end
    end
  end
  def fast_product(rel, inv_cov)
    sum = 0
    inv_cov.column_count.times do |j|
      local_sum = 0
      (0 ... rel.size).each do |k|
        local_sum += rel[k] * inv_cov[k, j]
      end
      sum += local_sum * rel[j]
    end
    sum
  end
  def maximize
    @classes.each_with_index do |klass, i|
      puts "Maximizing for class #{i}"
      sum = Array.new(@width) { 0 }
      num = 0
      @data.each_with_index do |row, j|
        p = @labels[j][i]
        @width.times do |k|
          sum[k] += p * @data[j,k]
        end
        num += p
      end
      mean = sum.map {|s| s / num }
      covariance = Matrix.zero(@width, @width)
      @data.row_vectors.each_with_index do |row, j|
        p = @labels[j][i]
        rel = row - Vector[*mean]
        covariance += Matrix.build(@width, @width) do |m,n|
          rel[m] * rel[n] * p
        end
      end
      covariance = (1.0 / num) * covariance
      @classes[i][:means] = Vector[*mean]
      @classes[i][:covariance] = covariance
    end
  end
  def cluster(iterations = 5)
    # 后续代码可根据需求添加
  end
end

4.4 算法缺点

EM 聚类的缺点是它不一定能收敛，并且在处理具有奇异协方差的数据时可能会出现问题。

5. 不可能定理

聚类算法存在一个不可能定理，该定理指出，一个聚类算法不可能同时具备以下三个属性：
- 丰富性 ：存在一个距离函数，能够产生所有不同类型的划分，即聚类算法可以创建从数据点到聚类分配的所有类型的映射。
- 尺度不变性 ：如果数据集中的所有数值都乘以一个常数，聚类结果应该保持不变。例如，在计算距离时，无论使用公里还是英里作为单位，聚类结果都应该相同。
- 一致性 ：如果缩小聚类内点之间的距离并扩大聚类间的距离，聚类结果应该保持不变。

K-Means 和 EM 聚类满足丰富性和尺度不变性，但不满足一致性。这使得聚类算法的测试变得非常困难，通常只能通过具体的示例和经验来进行测试，但这对于分析目的来说是可行的。

6. 音乐分类

6.1 音乐分类的挑战

音乐的分类方式多种多样，例如按艺术家姓名、音乐流派等进行分类。然而，音乐流派的定义往往比较宽泛，例如爵士乐，根据蒙特勒爵士音乐节的定义，爵士乐是可以即兴演奏的任何音乐。因此，如何有效地将音乐收藏划分为相似的作品是一个具有挑战性的问题。

6.2 数据收集

为了进行音乐分类，我们从 Discogs.com 网站收集了相关数据。由于不想涉及版权问题，我们只使用了专辑的公开信息，包括艺术家、歌曲名称、流派（如果可用）以及音乐的特征。我们专注于爵士乐，下载了该网站评选出的最佳爵士专辑，数据时间跨度从 1940 年到 2000 年代，共约 1200 张独特的唱片。此外，我们使用 Discogs API 对数据进行标注，确定了每张专辑的爵士风格，发现共有 128 种独特的风格。

6.3 使用 K-Means 分析数据

在使用 K-Means 对音乐数据进行聚类时，我们需要确定一个最优的 K 值。由于聚类问题难以进行有效的测试，我们假设要将所有唱片放在一个有 25 个插槽的书架上，因此选择 K = 25。以下是使用 Ruby 和 ai4r 宝石实现 K-Means 聚类的代码：

# lib/kmeans_clusterer.rb
require 'csv'
require 'ai4r'
data = []
artists = []
CSV.foreach('./annotated_jazz_albums.csv', :headers => true) do |row|
  @headers ||= row.headers[2..-1]
  artists << row['artist_album']
  data << row.to_h.values[2..-1].map(&:to_i)
end
ds = Ai4r::Data::DataSet.new(:data_items => data, :data_labels => @headers)
clusterer = Ai4r::Clusterers::KMeans.new
clusterer.build(ds, 25)
CSV.open('./clustered_kmeans.csv', 'wb') do |csv|
  csv << %w[artist_album year cluster]
  ds.data_items.each_with_index do |dd, i|
    csv << [artists[i], dd.first, clusterer.eval(dd)]
  end
end

通过分析聚类结果，我们发现聚类结果与爵士乐的历史发展相吻合。例如，爵士乐在大乐队时代基本属于同一个聚类，之后逐渐过渡到冷爵士乐，在 1959 年左右开始向不同方向发展，直到 1990 年左右趋于稳定。

6.4 使用 EM 聚类分析数据

由于没有包含 EM 聚类的 Ruby 宝石，我们需要自己实现该算法。前面已经给出了 EM 聚类的实现代码，通过使用该代码对爵士乐数据进行聚类，我们可以得到每个唱片属于每个聚类的概率，这对于处理爵士乐这种存在大量交叉风格的数据非常有用。

综上所述，聚类算法在数据分类和分析中具有重要的应用价值，但也存在一些局限性。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的聚类算法，并结合实际情况进行分析和判断。

7. 聚类算法对比

7.1 特性对比

算法	丰富性	尺度不变性	一致性	边界特性	数据适应性	收敛性
K-Means	满足	满足	不满足	硬边界，数据点只能属于一个聚类	更适合球形数据	收敛
EM 聚类	满足	满足	不满足	软边界，给出数据点属于各聚类的概率	适合无明确边界的数据	不一定收敛

7.2 应用场景对比

• K-Means ：当数据分布接近球形，且需要明确的聚类划分时，K-Means 是一个不错的选择。例如，在对用户进行简单的消费层级划分，或者对地理位置进行区域划分时，K-Means 可以快速得到较为清晰的聚类结果。
• EM 聚类 ：对于数据边界不明确，存在大量交叉或模糊情况的数据，EM 聚类更能发挥其优势。如在音乐分类中，爵士乐风格多样且相互交融，EM 聚类可以给出每个唱片属于不同风格聚类的概率，更符合实际情况。

8. 聚类算法的操作流程总结

8.1 K-Means 聚类操作流程

graph TD;
    A[确定 K 值] --> B[随机选择 K 个初始聚类中心];
    B --> C[分配数据点到最近的聚类中心];
    C --> D[更新聚类中心位置];
    D --> E{聚类中心是否不再移动};
    E -- 是 --> F[结束聚类];
    E -- 否 --> C;

具体步骤如下：
1. 确定要划分的聚类数量 K。
2. 从数据集中随机选取 K 个点作为初始聚类中心。
3. 对于数据集中的每个点，计算其与各个聚类中心的距离，将其分配到距离最近的聚类中心所在的聚类中。
4. 根据分配到每个聚类中的点，计算这些点的均值，更新聚类中心的位置。
5. 重复步骤 3 和 4，直到聚类中心不再移动，即达到收敛状态。

8.2 EM 聚类操作流程

graph TD;
    A[初始化参数] --> B[期望步骤：计算概率];
    B --> C[最大化步骤：更新参数];
    C --> D{是否达到迭代次数或收敛};
    D -- 是 --> E[结束聚类];
    D -- 否 --> B;

具体步骤如下：
1. 初始化聚类的相关参数，如聚类数量 K、概率向量等。
2. 期望步骤：根据当前数据和初始参数，计算每个数据点属于每个聚类的概率。
3. 最大化步骤：找到使概率最大化的参数，更新聚类的均值和协方差等参数。
4. 重复步骤 2 和 3，直到达到预设的迭代次数或算法收敛。

9. 聚类算法的优化与注意事项

9.1 K-Means 聚类的优化

• 初始中心选择 ：随机选择初始中心可能会导致算法收敛到局部最优解。可以采用 K-Means++ 算法，该算法通过更合理的方式选择初始中心，提高算法的收敛速度和聚类效果。
• 距离度量选择 ：根据数据的特点选择合适的距离度量方法，如曼哈顿距离适用于处理网格状数据，欧几里得距离适用于大多数情况。

9.2 EM 聚类的优化

• 协方差矩阵处理 ：在处理具有奇异协方差的数据时，可能会出现问题。可以采用正则化方法，如在协方差矩阵中添加一个小的对角矩阵，避免矩阵不可逆的情况。
• 迭代次数控制 ：由于 EM 聚类不一定收敛，需要合理控制迭代次数，避免算法陷入无限循环。

9.3 注意事项

• 数据预处理 ：在进行聚类之前，需要对数据进行预处理，如数据清洗、归一化等。数据清洗可以去除噪声和异常值，归一化可以使不同特征具有相同的尺度，避免某些特征对聚类结果产生过大的影响。
• 聚类评估 ：由于聚类算法的测试困难，需要采用合适的评估指标来评估聚类结果的质量。常见的评估指标有轮廓系数、Calinski-Harabasz 指数等。

10. 总结与展望

聚类算法作为一种重要的数据挖掘技术，在信息组织、用户细分、音乐分类等多个领域都有广泛的应用。K-Means 和 EM 聚类是两种常见的聚类算法，它们各有优缺点，适用于不同的场景。虽然聚类算法存在不可能定理带来的局限性，但通过合理选择算法、优化参数和进行数据预处理，可以在一定程度上提高聚类的效果。

未来，随着数据量的不断增加和数据类型的日益复杂，聚类算法需要不断发展和创新。例如，研究更高效的聚类算法，提高算法的收敛速度和处理大规模数据的能力；探索新的距离度量方法和聚类评估指标，以适应不同类型的数据和应用场景。同时，结合其他机器学习技术，如深度学习，可能会为聚类算法带来新的突破。

总之，聚类算法在数据分析和挖掘领域具有重要的地位，我们需要不断探索和改进，以更好地应对实际问题。