24、椭圆曲线的复乘与挠子群研究

椭圆曲线的复乘与挠子群研究

1. 挠子群：Doud 方法

在研究椭圆曲线 (E: y^{2}=x^{3}+Ax + B) 定义在整数集 (\mathbb{Z}) 上的挠子群时，Lutz - Nagell 定理提供了一种确定挠点的方法。该定理指出，如果 ((x,y)\in E(\mathbb{Q})) 是挠点，那么要么 (y = 0)，要么 (y^{2}\mid4A^{3}+27B^{2})。然而，这种方法需要对 (4A^{3}+27B^{2}) 进行因式分解，并且当该数有许多平方因子时会变得困难。Doud 方法则避免了这些问题，在实际应用中通常更快。

1.1 算法步骤

1. 选择素数 (p) ：选择一个大于等于 11 且不整除 (4A^{3}+27B^{2}) 的素数 (p)。根据定理 8.9，从 (E(\mathbb{Q})) 的挠子群到 (E(\mathbb{F} {p})) 的映射的核是平凡的，因此 (E(\mathbb{Q})) 的挠子群的阶整除 (#E(\mathbb{F} {p}))。使用几个不同的 (p) 值，并取 (#E(\mathbb{F}_{p})) 的最大公约数，得到一个值 (b)，它是 (E(\mathbb{Q})) 的挠子群的阶的倍数。
2. 考虑 (b) 的因子 (n) ：从 (b) 的最大因子开始，依次考虑 (b) 的因子 (n)，并在 (E) 上寻找阶为 (n) 的点（当然，只考虑 Mazur 定理允许的 (n) 值）。
3. 方程变换 ：为了进行解析计算，将 (E)