30、椭圆曲线同构：Vélu公式与点计数方法

椭圆曲线同构：Vélu公式与点计数方法

1. Vélu公式介绍

Vélu公式提供了一种从给定椭圆曲线 $E$ 及其有限子群 $C$ 构造新椭圆曲线 $E_2$ 以及从 $E$ 到 $E_2$ 的可分同构 $\alpha$ 的代数方法。设椭圆曲线 $E$ 由广义Weierstrass方程 $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$ 给出，其中所有 $a_i$ 属于某个域 $K$，$C$ 是 $E(K)$ 的有限子群。

对于 $C$ 中不为无穷远点 $\infty$ 的点 $Q = (x_Q, y_Q)$，定义如下变量：
- $g_x^Q = 3x_Q^2 + 2a_2x_Q + a_4 - a_1y_Q$
- $g_y^Q = -2y_Q - a_1x_Q - a_3$
- $v_Q = \begin{cases} g_x^Q & (如果 2Q = \infty) \ 2g_x^Q - a_1g_y^Q & (如果 2Q \neq \infty) \end{cases}$
- $u_Q = (g_y^Q)^2$

设 $C_2$ 是 $C$ 中阶为2的点集，选择 $R \subset C$ 使得 $C = {\infty} \cup C_2 \cup R \cup (-R)$，令 $S = R \cup C_2$，并设置：
- $v = \sum_{Q \in S} v_Q$
- $w = \sum_{Q \in S} (u_Q + x_Qv_Q)$

则新椭圆曲线 $E_2$ 的方程为 $Y^2 + A_1XY + A_3Y = X^3