离散变换和反演

离散变换与反演

求和式的形式

不妨设

$f_n=\sum_{k=0}^n a_{k, n}g_k$
$g_n=\sum_{k=0}^n b_{k, n}f_k$

则两式可以相互推导的充要条件是

$\forall k, i\neq j, a_{i, k}b_{j, k}=0$
$\forall k, i=j, a_{i, k}b_{j, k}=1$

以上这两个相互推导的式子就称离散变换或反演。

矩阵式的形式

反演用矩阵的形式给出会更加舒服一点。
不妨设$F$是一个$n\times 1$的列向量，$A, B$是$n\times n$的系数矩阵，$G$是$1\times n$的行向量，那么上面所有的式子可以如下表示。

$F=G^T A, G^T=FB$
两式可相互推导$\Longleftrightarrow AB^T=E$

这是显然的，从逆矩阵的角度出发很容易就能得到这样的结论。

注意上面提到了两个系数矩阵。然而实际应用时我们很少会用到它，而是用一个偏序关系来代替它。

偏序关系

一个定义在集合$S$上的偏序关系$\leq$，记为
这个不妨可以把它看作重载运算符$leq$。不同之处在于它存在一种无法比较的关系，也就是说对于任意两个元素我们不一定可以比较出它们的大小。

偏序关系的性质

• 自反性：$\forall x\in S, x\leq x$
• 反对称性：$\forall x\in S, y\in S, x\leq y, y\leq x$不成立
• 传递性：$\forall x, y, z\in S, x\leq y, y\leq z$有$x\leq z$

偏序关系的图像表示

形象化地，对于任意的$x$直接小于等于$y$（注意这里的小于等于并不是指数字上的小于等于）也就是说$\forall x, y\in S, x\leq y, \nexists z, x\leq z\leq y$，我们从$x$到$y$连一条有向边。那么整一个偏序关系必定是形成了若干个DAG。
用图形来表示就显得更加明了了。

全序关系

全序关系是偏序关系的一个特例。它的特点是集合中的任意两个元素都可以比较大小，那么我们就可以把它排成一列。而它的图像表示也恰好是一条链的形式。实数中的$\leq$恰好就是一种全序关系。

偏序关系的扩充与分拆

• 扩充：将一个偏序关系人为地扩充为一个全序关系， 比如拓扑排序就可以实现这个过程。但是这样子可能会受到我们人为引入的大小关系的影响。

• 分拆：取出集合的一个子集，使得这个子集满足良好的序关系，其中有

  • 链：子集构成了一个全序关系。
  • 反链：子集中任意两个元素都不能比较大小。

  其中Dilworth定理给出了它们两者之间的关系

  • 记集合的最长链的长度为$l$。那么偏序集可以被划分成$l$条但不能再少的反链
  • 记集合的最长反链的长度为$r$。那么偏序集可以被划分成$r$条但不能再少的链。

偏序集上的反演

设有偏序集，且$\forall x\in S, f_x=\sum_{y\leq x}g_y$
那么$g_x=\sum_{y\leq x}\mu(y, x)f_y$
其中当$x=y$时，$\mu(x, y)=1$
否则$\mu(x, y)=-\sum_{x\leq z< y}\mu(x, z)$
大致意思就是将之前减过的$x$这一位都抵消回去，最后再减去$x$自身。

包含关系的偏序集的反演

设有偏序集，再定义$f_x=\sum_{y\subseteq x}g_y$
那么$g_x=\sum_{y\subseteq x}\mu(y, x)f_y$
其中$\mu(y, x)=|x|-|y|$

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接下来我们来讨论一个数论上很重要的反演。

Dirichlet convolution

定义

设$f,g$都是算术函数$(Arithmetic Functions)$，它们的狄利克雷卷积得到的也是一个算术函数$h$，且$h(n)$的表达式为

$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$

算术函数：在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。

性质

所有的数论函数和逐点加法、狄利克雷卷积构成了一个交换环。
具体的，狄利克雷卷积满足以下定律

• 结合律：$(f\ast g) \ast h=f\ast (g \ast h)$
• 交换律：$f\ast g=g\ast f$
• 分配律：$(f+g)\ast h=f\ast h + g\ast h$
• 单位元：$f\ast e=f$
• 逆元：若$f(1)\neq 0$则存在$g$使得$g\ast f=e$，称作$f$的Dirichlet inverse
• 两个积性函数的狄利克雷卷积依旧是积性函数

单位元$e$定义如下

• 若$n=1$则$e(n)=1$
• 否则$e(n) = 0$

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Möbius 反演

Möbius function

定义

• 若$n=1$，则$\mu(n)=1$
• 若$n$包含素因子的平方，则$\mu(n)=0$
• 若$n$有$k$个不相同的素数构成$(k>=1)$，$\mu(n)=(-1)^k$

性质

• 积性函数：$\mu(ab)=\mu(a)\mu(b), (a, b)=1$
• $\mu \ast 1=e$

关于第二条性质的证明

• 当$n=1$时显然成立。
• 否则设$n=\prod_{i=0}^{m-1}p_i^{c_i}$
  $(\mu \ast 1)(n)=\sum_{d|n}\mu(d)$
  注意到当$d$包括素因子的平方时$\mu$的值就为0了。
  稍微推导一下可以发现
  原式=$\sum_{i=0}^{m} (-1)^iC_m^i$
  参照二项式展开$(a+b)^m=\sum_{i=0}^mC_m^ia^ib^{m-i}$
  令$a=-1,b=1$即可得到上式，显然当且仅当$m=0$时原式=1
  然而由于$n>1,m\neq 0$，故$(\mu \ast 1)(n)=0$

Möbius inversions

现有算术函数定义如下（$f$也是算术函数）

$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$

从$F$来倒推出$f$可以用莫比乌斯反演。
考虑等式左右两边同乘一个$\mu$

$(F\ast \mu)(n)=\sum_{d|n}F(\frac{n}{d})\mu(d)=\sum_{d|n}[\sum_{d'|\frac{n}{d}}f(d')]\mu(d)=\sum_{d'|n}f(d')[\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)]$

注意到当且仅当$\frac{n}{d'}=1$，也就是$d'=n$时，$[\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)]=1$，其它时候都为$0$
那么就有$(F\ast \mu)(n)=f(n)$
具体来说就是$f(n)=\sum_{d|n}F(d)\mu(\frac{n}{d})$

以上就是莫比乌斯反演。

然而这个形式不仅仅局限于此，考虑以下等式。
$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$
那么
$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$
也是成立的。
我们不妨倒过来想，原来的莫比乌斯反演是约数的形式，那么此时变成了倍数的形式以后基本思想还是不变的，上面的式子还是挺容易理解的。