差分表

定义

对于一个序列
$a_0, a_1, ... , a_n, ...$

定义一个新的序列
$\Delta a_0, \Delta a_1, ... ,\Delta a_n, ...$

其中
$\Delta a_i=a_{ i+1 }-a_i$

那么我们新定义的这个序列$\{ \Delta a_n \}$称序列$\{ a_n \}$的（一阶）差分序列

类似的，我们可以构造序列$\{ \Delta a_n \}$的二阶、三阶…$k$阶差分序列。
不妨记为$\{\Delta^2 a_n \},...,\{\Delta^k a_n \}$

而原序列的差分表，则是由每个$p=0, 1, ... , k$排成$k$行形成的表。$p$阶差分序列在行$p$上，原序列在第$0$行。

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性质

• 令序列的通项是关于$n$的一个$p$次多项式，即
  $f_n=\sum_{i=0}^p a_in^p$
  则$\forall n>=0, \Delta^{p+1}a_n = 0$
  证明使用归纳法即可。
• 差分的线性性
  倘若$f_n=k_1g_n+k_2h_n$，则有$\forall p, n, \Delta^p f_n=k_1\Delta^p g_n + k_2\Delta^p h_n$
  从定义去证明即可。
• 一个差分表中的所有元素可以由它的第一条对角线确定下来。
  这个有点类似于泰勒展开的离散形式。
• 若某个序列$f_n$的差分表的第一条对角线为
  $c_0, c_1, ... , c_p, 0, ...$
  则序列的通项满足$f_n=\sum_{i=0}^p c_i\tbinom {n}{i}$
  证明：不妨考虑一个最简单的形式。
  设某个差分表的第一条对角线为$0, ..., 0, 1, 0, ...$，它的特点是第 一条对角线上只有第$p$个数为$1$，其他都为$0$
  那么这个差分表对应的原数列$f$则为$0, ..., 0, 1, 0, ...$，其中除$f_p=1$以外其他项都为$0$。
  由此我们可以写出这个序列的一个通项公式
  $f_n=c(n)(n-1)(n-2)...(n-p+1)$
  其中$c$是某个常数。代入$f_p=1$，得到$c=\frac{1}{p!}$
  于是乎我们得到$f_n$的通项公式
  $f_n=\frac{\prod_{j=n-p+1}^n j}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\tbinom{n}{p}$
  那么根据差分的线性性，对于任意一个差分表我们都可以分拆成若干个只有一个$1$的差分表的线性组合。把这所有的通项式结合起来我们就可以得到
  $f_n=\sum_{i=0}^p c_i\tbinom{n}{i}$

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在求和上的应用

看了上面一堆的式子以后，似乎差分表的作用还没有体现出来。
但是结合以下的这个结论，差分表就在求和问题上显得尤为有效了。

引理：$\sum_{i=0}^p\tbinom{n}{i}=\tbinom{n+1}{p+1}$
证明只需要不断按照$\tbinom{n}{m}=\tbinom{n}{m-1}+\tbinom{n-1}{m-1}$展开右式即可得到左式。

那么假如我们现在要求
$\sum_{i=0}^n f_i$

首先用$O(p^2)$的时间计算出差分表，取出第一条对角线上的元素$c_i$，则有
$\sum_{i=0}^n f_i=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^p c_j\tbinom{i}{j}=\sum_{j=0}^p c_j \sum_{i=0}^n \tbinom{i}{j}=\sum_{j=0}^pc_j\tbinom{ n+1 }{p+1}$

成功地将$O(n)$的求和时间复杂度降到了$O( p^2 )$