31、使用快速傅里叶变换解决子集和问题

使用快速傅里叶变换解决子集和问题

1. 快速傅里叶变换的基本原理

子集和问题（Subset Sum problem）是计算领域中一个基础且广泛应用的问题。给定一组正整数 (Z) 和一个目标值 (t)，我们需要确定是否存在 (Z) 的一个子集，使得该子集的元素和等于 (t)。近年来，随着快速傅里叶变换（FFT）的发展，子集和问题的求解方法也有了显著进步。

1.1 快速傅里叶变换简介

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的算法，用于计算两个多项式的乘积。在子集和问题中，FFT可以用来计算两个集合的成对和集。具体来说，给定两个集合 (A) 和 (B \subseteq N) 以及一个上界 (t > 0)，可以使用FFT计算 (A \oplus_t B)，即 (A) 和 (B) 的 (t) 限制的成对和集。这将产生一个多项式，其指数不超过 (t)，并且每个单项式的系数表示成对和等于该指数的对数。

1.1.1 计算复杂度

FFT操作可以在时间 (O(t \log t)) 内完成。每个单项式 (x^i) 的系数表示 (A) 和 (B) 中元素和为 (i) 的对数。例如，给定集合 (A = {1, 2}) 和 (B = {3, 4})，以及上界 (t = 5)，我们可以计算：

[ A \oplus_t B = {1+3, 1+4, 2+3, 2+4} \cap [0, 5] = {4, 5, 5, 6} \cap [0, 5] = {4, 5} ]

1.2 一维快速傅里叶变换

对于两个集合 (A) 和 (B \subseteq N)