带余除法专题

剩余系

定义

一个数模$m$所得的余数域。

分类

• 完全剩余系：由$\{0, 1, 2...m-1\}$组成的剩余系

  • 简化剩余系：由小于$m$且与$m$互质的自然数组成的剩余系

    完全剩余系与加法、乘法组成了一个环。
    简化剩余系与四则运算构成了一个域。

  证明需要用到的结论

  • 结论一：若$a ,b,c$为任意$3$个整数，$m$为正整数，且$(m, c ) = 1$, 则当$ac \equiv bc \pmod m$ 时，有$a \equiv b \pmod m$
    证明：根据题设有$(a-b)c\equiv 0 \pmod m$，因为$(m, c)=1$，$c$存在关于$m$的逆元，两边同乘之即可证。

  • 结论二：若$a_0,a_2...a_{m-1}$两两不同余，则它们构成对$m$的完全剩余系。
    证明：构造同余系$\{0,1,...,m-1\}$建立起双射关系。

  • 结论三：若$\{a_0,a_1...a_{m-1}p\}$构成对$m$的完全剩余系，$(p, m)=1$，则$\{pa_0,pa_1...pa_{m-1}\}$也构成对$m$的完全剩余系。
    证明：利用定理一证明这$m$个数两两不同余再利用定理二即可。

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  重要定理

  费马小定理

  若$p$是质数，且$(a, p)=1$，则$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$
  证明：构造剩余系$\{1,...,p-1\}$，根据定理三的思路有$\{a, 2a,...(p-1)a\}$也构成了相同的剩余系。于是有$(p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)!\pmod p$，又有$((p-1)!, p)=1$，两边同乘其逆元即可。

  欧拉定理（费马小定理的推广）

  若$a, p$为正整数且$(a, p)=1$，则有$a^{\varphi(p)}\equiv 1 \pmod p$
  证明：与费马小定理证明思路大致相同，注意$\{ax_1, ax_2,...,ax_{\varphi(p)}\}$两两不同余且皆与$p$互质，其中$\{x_1, x_2,...,x_{\varphi(p)}\}$构成了简化剩余系。

  Lucas定理

  $C_n^m \equiv C_{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor}\cdot C_{n\%p}^{m\%p}\equiv \prod_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i} \pmod p$
  其中$m_i, n_i$分别表示$m,n$在$p$进制下的第$i$位的值
  证明：主要沿二项式展开得到组合数来证明同余的思路。
  $(x+1)^p=x^p+C_p^1x^{p-1}+...+C_p^{p-1}x+1$
  又有$C_a^b=\frac{a}{b}C_{a-1}^{b-1}$，其中$a, b$为正整数。
  故$(x+1)^p\equiv x^p+1 \pmod p$，次数变成$p^k$同理。
  $(x+1)^n=(x+1)^{a_0}[(x+1)^p]^{a_1}...[(x+1)^{p^{k-1}}]^{a_{k-1}}$
  $\equiv (x+1)^{a_0}(x^p+1)^{a_1}...(x^{p^{k-1}}+1)^{a_{k-1}}\pmod p$
  对比最终式子中$x^m$这一项的系数就可得到
  $C_n^m=\prod_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i} \pmod p$

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  同余

  定义

  $a\equiv b\pmod m \Longleftrightarrow m|(a-b)$

  同余的其中两个性质

  • 性质一：若$a\equiv b\pmod m, n|m$，那么$a\equiv b\pmod n$
    证明：从定义证明即可。
  • 性质二：若$ac\equiv bc\pmod m$，那么$a\equiv b\pmod {\frac{m}{(m, c)}}$
    证明：显然$\frac{m}{(m, c)}|m$，那么根据性质一，$ac\equiv bc \pmod{\frac{m}{(m, c)}}$
    由于$(c, \frac{m}{(m, c)})=1，于是$c$关于新模数的乘法逆元存在，两边同乘之即可得。$

  线性同余方程

  形如$ax\equiv b \pmod p$的方程，这个方程有解当且仅当$(a, p)|b$。因为它可以化简成为$a'x\equiv b'\pmod {p'}$，其中$a'=\frac{a}{gcd(a, p)}$，$b', p'$同理，那么$x=b'a'^{-1}$，其中$a'^{-1}$表示$a'$关于$p'$的乘法逆元。

  同余方程组

  现有若干同余方程

  • $x \equiv b_0\pmod {m_0}$
  • $x \equiv b_1\pmod {m_1}$
    …
  • $x \equiv b_n\pmod {m_n}$

  要求求出通解$x$

  中国剩余定理

  这个要求$m_i$两两互质。令$M_i=\prod_{j\neq i}m_j$，则
  $x\equiv \sum_{i=0}^nm_i^{-1}Mib_i \pmod M$
  假如$m_i$并非两两互质，可以先将每一个$m_i$分解质因数，然后将同一个质数的判断冲突，保留模数最大的一个。最后合并就可以了。

  扩展gcd合并同余方程组

  假设我们现在需要合并两个同余方程

  $X\equiv b_1 \pmod {m_1}$
  $X\equiv b_2 \pmod {m_2}$

  问题实际上转换成了解关于$k_1, k_2$的不定方程

  $xm_1-ym_2=b_2-b_1$

  用扩展$gcd$求出初解$x_0, y_0$。注意这一步有可能无解（$(m_1, m_2)\nmid b_2-b_1$），若无解则无法合并。那么原方程的通解变成了

  $x=\frac{m_2}{(m_1, m_2)}k+\frac{b_2-b_1}{(m_1, m_2)}x_0$

  注意到这个方程里除了$k$是未知数以外其他都是常量。
  那么我们将$x$带回原方程，得到

  $X=m_1x+b_1=\frac{m_1m_2}{(m_1, m_2)}k+m_1x_0\frac{b_2-b_1}{(m_1, m_2)}+b_1$

  那么我们就成功地将两个同余方程合并成一个新的同余方程

  $X\equiv m_1x_0\frac{b_2-b_1}{(m_1, m_2)}+b_1 \pmod {\frac{m_1m_2}{(m_1, m_2)}}$

  离散对数与原根

  要求求解$a^x\equiv b\pmod m$的解

  若$(a, m)=1$则可以应用大步小步法。
  核心思想是把$a^x$化成$a^{km+b}$
  枚举$m$，二分$b$即可。

  矩阵上的大步小步法

  核心思想还是和求离散对数法的大步小步法一致的，只需要将矩阵和某个特定的数建立起一一对应的关系就可以了。