群论专题

群

各种定义

• 代数系统：由非空集合$S$与$k$个一元或二元运算$f_1, f_2, ... , f_k$组成的系统，记作<S,f1,f2,...,fk>。具有封闭性。
• 满足结合率的代数系统称半群
• 存在单位元$e$的半群称作独异点
• 任意元素存在逆元的半群称作群。

性质

• 封闭性
• 满足结合率
• 存在单位元，且单位元唯一
• 存在逆元，且逆元唯一，且逆元的逆元是本身
• 消去率：两边同乘逆元可证

相关概念

• 若$<G, \times>$满足交换律，则称之为交换群。
• 若<{ e,a,a2,...,ar−1},×>构成群，那么称之为循环群，其中$a$是这个群的生成元。
• 若$<G, \times >$为群且$H\subset G$，并且<H,×>构成群，那么称<H,×>是<G,×>的一个子群
• 若<H,×>是<G,×>的一个子群，则$\forall a\in G$，记$Ha=\{ha:h\in H\},aH=\{ah:h\in H\}$
  分别称为$H$的右陪集、左陪集
• 定义元素的阶为$o(a)=min\{n\in \mathbb{N}:n>0, a^n=e\}$

陪集的一些性质

• 设<H,×>是<G,×>的子群，$aH$和$bH$是任意两个左陪集。那么$aH=bH$或$aH\cap bH=\emptyset$
  证明：只需证明若$aH\cap bH \neq \emptyset$，则$aH=bH$即可。不妨设$f\in aH \cap bH$。则有$f=ah_0=bh_1$，于是$a=bh_1h_0^{-1}$
  那么$\forall g \in aH$，有$g=ah_3=bh_1h_0^{-1}h_3$。根据群的性质有$h_1h_0^{-1}h_3\in H$。因此$aH\subseteq bH$，同理可证$bH\subseteq aH$，于是得$aH=bH$
• 设<H,×>是<G,×>的子群，那么$\forall a\in G, |aH|=|H|$。也就是说所有的陪集大小相等，都等于子集大小。
  证明：
  
  • $H\rightarrow aH$为单射：