群论专题

最新推荐文章于 2022-02-15 17:57:36 发布

原创

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本文深入探讨了群论的基本概念，包括代数系统的定义、群的性质、子群、陪集和拉格朗日定理。通过拉格朗日定理的推论，证明了有限群中每个元素的阶是群大小的因子。此外，还介绍了Burnside引理和Pólya定理在计数问题中的应用。

                    
                        
                    
                    群 
各种定义 
代数系统：由非空集合S与 
    
    k 
   个一元或二元运算f1,f2,...,fk组成的系统，记作<S,f1,f2,...,fk>。具有封闭性。
满足结合率的代数系统称半群
存在单位元e的半群称作独异点
任意元素存在逆元的半群称作群。
 
性质 
封闭性
满足结合率
存在单位元，且单位元唯一
存在逆元，且逆元唯一，且逆元的逆元是本身
消去率：两边同乘逆元可证
 
相关概念 
若 
    
    <G,×> 
   满足交换律，则称之为交换群。
若<{ 
        e,a,a2,...,ar−1},×>构成群，那么称之为循环群，其中a是这个群的生成元。
若 
    
    <G,×> 
   为群且H⊂G，并且<H,×>构成群，那么称<H,×>是<G,×>的一个子群
若<H,×>是<G,×>的一个子群，则∀a∈G，记Ha={ 
        ha:h∈H},aH={ 
        ah:h∈H} 
 分别称为H的右陪集、左陪集
定义元素的阶为 
    
    o(a)=min{n∈N:n>0,an=e} 
   
 
陪集的一些性质 
设<H,×>是<G,×>的子群，aH和bH是任意两个左陪集。那么aH=bH或aH∩bH=∅ 
 证明：只需证明若aH∩bH≠∅，则aH=bH即可。不妨设f∈aH∩bH。则有f=ah0=bh1，于是a=bh1h−10 
 那么∀g∈aH，有g=ah3=bh1h−10h3。根据群的性质有h1h−10h3∈H。因此aH⊆bH，同理可证bH⊆aH，于是得aH=bH
设<H,×>是<G,×>的子群，那么∀a∈G,|aH|=|H|。也就是说所有的陪集大小相等，都等于子集大小。 
 证明： 
 
  H→aH

                