群
各种定义
- 代数系统:由非空集合S与
k 个一元或二元运算f1,f2,...,fk组成的系统,记作<S,f1,f2,...,fk>。具有封闭性。 - 满足结合率的代数系统称半群
- 存在单位元e的半群称作独异点
- 任意元素存在逆元的半群称作群。
性质
- 封闭性
- 满足结合率
- 存在单位元,且单位元唯一
- 存在逆元,且逆元唯一,且逆元的逆元是本身
- 消去率:两边同乘逆元可证
相关概念
- 若
<G,×> 满足交换律,则称之为交换群。 - 若<{ e,a,a2,...,ar−1},×>构成群,那么称之为循环群,其中a是这个群的生成元。
- 若
<G,×> 为群且H⊂G,并且<H,×>构成群,那么称<H,×>是<G,×>的一个子群 - 若<H,×>是<G,×>的一个子群,则∀a∈G,记Ha={
ha:h∈H},aH={
ah:h∈H}
分别称为H的右陪集、左陪集 - 定义元素的阶为
o(a)=min{n∈N:n>0,an=e}
陪集的一些性质
- 设<H,×>是<G,×>的子群,aH和bH是任意两个左陪集。那么aH=bH或aH∩bH=∅
证明:只需证明若aH∩bH≠∅,则aH=bH即可。不妨设f∈aH∩bH。则有f=ah0=bh1,于是a=bh1h−10
那么∀g∈aH,有g=ah3=bh1h−10h3。根据群的性质有h1h−10h3∈H。因此aH⊆bH,同理可证bH⊆aH,于是得aH=bH - 设<H,×>是<G,×>的子群,那么∀a∈G,|aH|=|H|。也就是说所有的陪集大小相等,都等于子集大小。
证明:
- H→aH