csp2019 Emiya 家今天的饭

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5664
去年考场上我很菜。。。
现在还是一样菜。。。。。。
题目抽象出来就是给你一个$n$行$m$列的矩阵（数表），可以从里面选出任意个数，每一行只能选一个数，要求每一列选出的数不超过选出总数的$\lfloor \frac{1}{2}\rfloor$,每一个方案的贡献是所有选出的数的乘积，求所有方案之和取模

如果要直接保证每一列选出的数不超过选出总数的$\lfloor \frac{1}{2}\rfloor$，一时想不出，可以考虑进行容斥，因为每个方案只有可能有一列选出的数超过。

枚举每一列为超出总数$\lfloor \frac{1}{2}\rfloor$的列，同时设$dp[i][j][k]$为前$i$行选出$j$个该列的数，总共选出了$k$个数的方案的值，$s[i]$为第$i$行值的和,该列为第$q$列
$$dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]+dp[i-1][j-1][k-1]\ast a[i][q]+dp[i-1][j][k-1]\ast (s[i]-a[i][q])$$
但这样总的时间复杂度是$O(m{n}^3)$

还要优化状态，我们发现，我们其实只要考虑第$q$行和其他行的相对数量，就可以重设状态$dp[i][j]$表示前$i$行第$q$列比其他列的数量之和多$j$的方案的值
则：$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]\ast a[i][q]+dp[i][j+1]\ast (s[i]-a[i][q])$$

至于算所有满足除第三个条件的方案的值，简单$dp$即可
总时间复杂度$O(m{n}^2)$

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=200,MAXM=2000,Mod=998244353;
int dp[MAXN+10][MAXN+10],g[MAXN+10][MAXM+10];
int a[MAXN+10][MAXM+10],s[MAXN+10];
inline int read();

signed main(){
	//freopen ("std.in","r",stdin);
	//freopen ("std.out","w",stdout);
	int n,m;
	n=read(),m=read();
	for (register int i=1;i<=n;++i)
		for (register int j=1;j<=m;++j)
			a[i][j]=read(),s[i]=(s[i]+a[i][j])%Mod;
	int ans=0;
	for (register int i=0;i<n;++i)	g[i][0]=1;
	for (register int i=1;i<=n;++i)
		for (register int j=1;j<=n;++j)
			g[i][j]=(g[i-1][j-1]*s[i] + g[i-1][j])%Mod;
	for (register int i=1;i<=n;++i)	ans+=g[n][i];
	for (register int k=1;k<=m;++k){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[0][n]=1;
		for (register int i=1;i<=n;++i)
			for (register int j=n-i;j<=n+i;++j)
				dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*a[i][k]+dp[i-1][j+1]*(s[i]-a[i][k]))%Mod;
		for (register int i=n+1;i<=n+n;++i)	ans-=dp[n][i];
	}
	printf("%lld\n",(ans%Mod+Mod)%Mod);
	return 0;
}

inline int read(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c))c=getchar();
	while (isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15),c=getchar();
	return x;
}