P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

这是一篇关于解决组合优化问题的文章,以CSP-S2019题目「Emiya 家今天的饭」为例,讨论如何在满足特定条件(如烹饪方法互不相同,食材不超过一半)下计算不同菜谱方案的数量。文章通过分析题目数据,提出使用动态规划(DP)的方法,并给出了状态转移方程。同时,作者强调了在处理此类问题时要注意的细节,如避免状态空间爆炸和正确处理取模运算。

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太难惹!!!


题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生,他共掌握 n 种烹饪方法,且会使用 m 种主要食材做菜。为了方便叙述,我们对烹饪方法从 1∼n 编号,对主要食材从 1∼m  编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地,Emiya 会做 a_{i,j}​ 道不同的使用烹饪方法 i 和主要食材 j 的菜(1≤i≤n,1≤j≤m),这也意味着 Emiya 总共会做a_{i,j}道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友,然而三个人对菜的搭配有不同的要求,更具体地,对于一种包含 k 道菜的搭配方案而言:

  • Emiya 不会让大家饿肚子,所以将做至少一道菜,即 k≥1
  • Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜,因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
  • Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜,因此他要求每种主要食材
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