2020.8.7上海月赛t1(甲组)

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线段树

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该博客介绍了如何利用线段树解决寻找满足132型排列条件的三元组问题。博主分析了暴力解法会超时的问题，提出通过倒序枚举并使用值域线段树来优化算法，动态维护满足条件的三元组数量。内容包括题目描述、输入输出格式、数据范围以及样例数据，并提供了代码实现。

题目地址：https://iai.sh.cn/problem/100

题目描述

给定正整数 $n$ 及 $1$ 到 $n$ 的一个排列 $a_1,a_2,⋯ ,a_n$ ,请统计其中有多少由三个数字组成的三元组，满足 132 型。所谓 132 型，是指三个下标 $(i, j, k)$ ，满足 $i < j < k$ 且 $a i < a k < a j$ 。即，中间的数字最大，尾部的数字第二大，头部的数字最小。

输入格式

第一行：单个正整数 $n$
第二行： $n$ 个正整数 $a_1,a_2,⋯ ,a_n$ 。

输出格式

单个整数：表示符合条件的三元组数量。注意这个数字可能超过 $2^{32}$

数据范围

对于 $30$ % 的数据， $1 \leq n \leq 300$
对于 $60$ % 的数据， $1 \leq n \leq 5000$
对于 $100$ 的数据， $1 \leq n \leq 20000$

样例数据

输入：

5
1 3 2 5 4

输出：

说明：

（1，3，2），（1，5，4），（3，5，4），（2，5，4）共四组

分析：暴力 $O(n^3)$ ,肯定会 $T L E$
~~开始乱搞~~
考虑每个值对答案的贡献
首先一维肯定是要枚举的，选择 $(i, j, k)$ 中的 $i$ 进行枚举可以减少限制因为它位置最前且值最小。
考虑倒序枚举，正序无法维护 $j, k$
接下来就是 $j, k$ ，我们发现只要在右边保证 $j > k$ 且 $a [j] < a [k]$ 可以用值域线段树维护，开一棵权值线段树，枚举到每一个数 $i$ ,将线段树上已有比它小的点的值都加一，然后是统计，所以任意结点的值代表在它左边存在多少个数，满足 $23 型$ ， $j < k$ 且 $a [j] > a [k]$ ,每扫到一个点，先统计线段树上值比它大的点就可以了
动态开点线段树，区间修改，区间查询和

$C o d e$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=2e4;
struct SEG{
	int lc,rc,s,l,r,tag,num;
}tree[MAXN<<2|10];
struct w{
	int val,op;
}b[MAXN+10];
int a[MAXN+10],c[MAXN+10],d[MAXN+10];
int tot=0,root=0;
inline int read();
inline bool cmp(const w&,const w&);
inline void pushup(int);
inline void pushdown(int);
void Insert(int,int,int,int&);
void update(int,int,int,int);
int query(int,int,int);

signed main(){
	//freopen ("std.in","r",stdin);
	//freopen ("std.out","w",stdout);
	memset(tree,0,sizeof(tree));
	int n=read();
	for (register int i=1;i<=n;++i){
		b[i].val=a[i]=read();
		b[i].op=i;
	}
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	int ans=0;
	for (register int i=1;i<=n;++i){
		c[b[i].op]=i;
		d[i]=b[i].val;
	}
	for (register int i=n;i>=1;--i){
		int x=c[i];
		//int y=c[i]+1;
		int y=lower_bound(d+1,d+n+1,b[x].val+1)-d;
		ans+=query(y,n,root);
		//y=c[i]-1;
		y=lower_bound(d+1,d+n+1,b[x].val)-d-1;
		update(1,y,root,1);
		Insert(x,1,n,root);
	}
	if (tree[0].tag==0 && tree[0].s==0)	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

inline int read(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c))c=getchar();
	while (isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15),c=getchar();
	return x;
}

inline bool cmp(const w &x,const w &y){
	return x.val<y.val;
}

inline void pushup(int s){
	tree[s].s=tree[tree[s].lc].s+tree[tree[s].rc].s;
	tree[s].num=tree[tree[s].lc].num+tree[tree[s].rc].num;
}

inline void pushdown(int s){
	int val=tree[s].tag;
	if (tree[s].lc){
		int lc=tree[s].lc;
		tree[lc].s+=val*tree[lc].num;
		tree[lc].tag+=val;
	}
	if (tree[s].rc){
		int rc=tree[s].rc;
		tree[rc].s+=val*tree[rc].num;
		tree[rc].tag+=val;
	}
	tree[s].tag=0;
	return;
}


void Insert(int x,int l,int r,int &rt){
	if (!rt){
		rt=++tot;
		tree[rt].l=l,tree[rt].r=r;
		tree[rt].tag=tree[rt].s=0;
		tree[rt].num=1;
	}
	if (l==r)	return;
	int mid=l+r>>1;
	pushdown(rt);
	if (x<=mid)	Insert(x,l,mid,tree[rt].lc);
	else    Insert(x,mid+1,r,tree[rt].rc);
	pushup(rt);
}

void update(int l,int r,int s,int val){
	if (tree[s].l>r || tree[s].r<l)	return;
	if (l<=tree[s].l && tree[s].r<=r){
		tree[s].tag+=val;
		tree[s].s+=val*tree[s].num;
		return;
	}
	pushdown(s);
	update(l,r,tree[s].lc,val);
	update(l,r,tree[s].rc,val);
	pushup(s);
}

int query(int l,int r,int s){
	if (tree[s].r<l || tree[s].l>r)	return 0;
	if (l<=tree[s].l && tree[s].r<=r)	return tree[s].s;
	pushdown(s);
	return query(l,r,tree[s].lc) + query(l,r,tree[s].rc);
}