【数学】JZOJ_3927 可见点数洛谷_2158 仪仗队

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#数学 #欧拉函数

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本文探讨了在一个N×N的点阵中，从(0,0)位置最多能观察到多少个点的问题。通过发现当点的坐标x和y互质时，该点可以被看见的规律，引入了欧拉函数的概念来计算与特定坐标互质的点的数量。最终，通过计算一边的互质点数并乘以2，再考虑初始特殊情况，得出了解决方案。

题意

给出一个 $N×NN\times N$ 的点阵，求出从 $(0, 0)$ 的点上最多能看到多少个点。

思路

我们可以先找一找规律发现当一个点的坐标 $x$ 和 $y$ 互质时它可以被看见。然后可以发现 $N$ 每增长 $1$ ，外面只多了一圈，由于 $y$ 知道了，那么我们只用求出有多少个数和它互质，就会想到用欧拉函数，我们只计算一边的，因为对称，所以我们只用求一边的，答案就 $×2\times 2$ ，一开始的周围 $3$ 个特殊，最后加上去。

代码

#include<cstdio>

int N;
long long ans;
long long phi[100001];

int main() {
	scanf("%d", &N);
	if (N == 1) {
		printf("0");
		return 0;
	}
	for (int i = 2; i < N; i++) phi[i] = i;
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		if (phi[i] == i)
			for (int j = i; j <= N; j += i)
				phi[j] = phi[j] * (i - 1) / i;
		ans += phi[i];
	}
	printf("%lld", ans * 2 + 3);
}