【数论 质数】Contest Hunter_3101 阶乘分解

本文介绍了一种高效计算N!的质因子及其个数的方法。通过筛选1至N的质数并计算每个质数在N!中出现的次数,避免了直接分解N!的高时间复杂度。具体算法包括质数筛选、质因子计数,适用于数学竞赛及算法设计。

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题意

给出NN,求出N!的质因子和它们的个数。

思路

如果直接分解1N1∼N的质因子,时间复杂度很大,我们可以考虑别的做法。
因为N!=123...NN!=1∗2∗3∗...∗N,所以N!N!的质因子不会超过NN,我们就可以先筛出1N的质数,然后判断N!N!的质因子的个数。
N!N!中的质数pp的个数就为1N中包含质因子pp的个数的和,那么显然在1N中包含一个质因子pp的数的个数为N/p个,然后我们可以判断含两个质因子pp的数,那么这个的数量就为N/p2
综上所述,N!N!中质因子pp的个数为:
NpkpkN

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
int n, m, v[1000001], prime[1000001], c[1000001];
void calc_prime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!v[i]) {
            v[i] = i;
            prime[++m] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
            v[i * prime[j]] = prime[j];
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    calc_prime(n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
        for (long long x = prime[i]; x <= n; x *= prime[i]) 
            c[prime[i]] += n / x;
    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d %d\n", prime[i], c[prime[i]]);
}
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