【数学 图论】JZOJ_3085 图的计数

题意

询问有多少个$N$个点，$M$条边的有向图，从$1$号点到达$N$号点需要经过至少$N-1$条边。该有向图中可以包含重边和自环。方案数$\%1000000009$。

思路

因为至少是$N-1$条边，所以这构成了一条链，我们要在这链里加边且不是捷径边。

一共可以加入$N^2$条边，捷径边的边数有$C_{N-1}^2$条边，那么还能加进去的边还有$N^2-C_{N-1}^2$。

因为图中有$M$条边，用了$N-1$条边，所以还剩$M-N+1$条边，我们要把这能加进的$N^2-C_{N-1}^2$边放到这里面。

这里给出一个公式，把$N$个相同的元素放进$M$个桶的方案数为$C_{N+M-1}^N$

然后我们就可以套公式求出答案了，然后取模就直接算逆元。

代码

#include<cstdio>

const int P = 1e9 + 7;
int n, m;
int fact[10001];

int power(int a, int b) {
	int result = 1;
	a %= P;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) result = (long long)result * a % P;
		a = (long long)a * a % P;
	}
	return result;
}

long long C(int n, int m) {
	long long a = 1, b = 1;
	for (int i = n; i > n - m; i--)
		a = a * i % P;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		b = b * power(i, P - 2) % P;
	return a * b % P;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n - 2; i++)
		fact[i] = (long long)fact[i - 1] * i % P;
	printf("%d", C(n * n - C(n - 1, 2) - 1 + m - n + 1, m - n + 1) * fact[n - 2] % P);
}