【数论】洛谷_1463 反素数

题意

　　对于任何正整数$x$，其约数的个数记作$g(x)$。例如$g(1)=1、g(6)=4$。
如果某个正整数$x$满足$：g(x)>g(i) 0<i<x$，则称x为反质数。例如，整数$1，2，4，6$等都是反质数。
现在给定一个数$N$，求出不超过$N$的最大反质数。

思路

部分借鉴某蓝书

引理$1:$
　　求不超过$N$的最大反质数，就是求$1 \sim N$的约数个数最多的数中最小的数。
证明$:$
　　设$m$为$1\sim N$中约数个数最多的数中最小的数，根据定义，显然满足：
　　1. 对于任意一个数$x<m$，有$g(x)<g(m)$。
　　2. 对于任意一个数$x>m$，有$g(x)\leq g(m)$
　　根据反质数的定义，第一条说明了$m$是反质数，第二条说明了大于$m$的都不是反质数，故$m$为所求。

引理$2:$
　　$1\sim N$中任何数的不同质因子都不会超过10个，且所有质因子的指数总和不超过30。
证明$:$
　　因为最小的$11$个质因子乘起来已经超过数据范围了，所以不可能有超过$11$个不同的质因子。
最小的质因子$2$的31次方超过数据范围了，所以指数总和不可能超过$30$。

引理$3:$
　　$x$的质因子是连续的若干个最小的质数，并且指数单调递减。
证明$:$
　　反证法。由引理$2$，若$x$的质因数分解中存在一项$p^{k}(p>29)$，则必定有一个不超过$29$的质因子$p'$不能整除$x$，根据算数基本定理的推论，$x/p^{k}*p'^{k}$的约数个数和$x$的约数个数相同，但前者更小，这与反质数的定义矛盾。故$x$只包含$29$以内的质因子。
　　同理，如果$x$的质因子不是连续若干个最小的或者指数不单调递增的，我们也可以通过上述方法来找到一个比$x$更小、但约数个数相同的数。

综上所述，我们可以利用$dfs$来确定前$10$个质数的指数，在$2$个条件的限制下我们的搜索量其实很小，然后在根据引理$1$来更新答案就好了。

代码

#include<cstdio>
const int prime[11] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
long long n, ans1, ans2;
long long ksm(long long a, long long b) {
    long long result = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) result *= a;
        a *= a;
    }
    return result;
}
void dfs(long long dep, long long index, long long tot, long long div) {
    //当前点， 上一个数的指数， 和， 约数个数 
    if (tot > n || dep > 10) return;//答案不超过n，质因子不超过10个
    if (div > ans2 || (div == ans2 && tot < ans1)) {//引理1
        ans1 = tot;
        ans2 = div;
    }
    long long v=0, t;
    while ((t = ksm(prime[dep + 1], v)) <= n && v <= index) {//引理3
        dfs(dep + 1, v, tot * t, div * (v + 1));
        v++;
    }
}
int main() {
    scanf("%lld", &n);
    dfs(0, 30, 1, 1);
    printf("%lld", ans1); 
}