本文通过直观的方式解释了BackPropagation算法，将其视为复合函数的链式法则应用，详细介绍了在多层神经网络训练过程中如何通过BP算法高效计算梯度。
作者：Evan Hoo
链接：http://www.zhihu.com/question/27239198/answer/89853077
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
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，working on RL
我觉得理解BP算法原理最直接与清晰的就是根据computation graph了，话不多说，直接上图。这里举了一个三层神经网络（一个输入层、一个隐层和一个输出层）的例子，使用了softmax输出层，损失函数使用交叉熵。训练神经网络可以使用梯度下降的方法，重点是计算…
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，knows nothing
直接上干货，
Neural networks and deep learning（深度学习在线书chap2），把这一篇看完然后可以看看torch7的nn里面随便一个层的写法，或者caffe的Backward的实现，这两种框架都是按照layer-by-layer的方法设计的。另外比较灵活的一种方式是通过定义computa…
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BackPropagation算法是多层神经网络的训练中举足轻重的算法。
简单的理解，它的确就是复合函数的链式法则，但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。
要回答题主这个问题“如何直观的解释back propagation算法？” 需要先直观理解多层神经网络的训练。
机器学习可以看做是数理统计的一个应用，在数理统计中一个常见的任务就是拟合，也就是给定一些样本点，用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系。
深度学习同样也是为了这个目的，只不过此时，样本点不再限定为(x, y)点对，而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对(X,Y)。而此时，(X,Y)之间的关系也变得十分复杂，不太可能用一个简单函数表示。然而，人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系，而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。借用网上找到的一幅图[1]，来直观描绘一下这种复合关系。
上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k*x+b中的待求参数k和b。
上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k*x+b中的待求参数k和b。
和直线拟合一样，深度学习的训练也有一个目标函数，这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”，不过在机器学习中，一般是采用成本函数（cost function），然后，训练目标就是通过调整每一个权值Wij来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值Wij为自变量的复合函数，而且基本上是非凸的，即含有许多局部最小值。但实际中发现，采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。
梯度下降法需要给定一个初始点，并求出该点的梯度向量，然后以负梯度方向为搜索方向，以一定的步长进行搜索，从而确定下一个迭代点，再计算该新的梯度方向，如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢？
假设我们把cost函数表示为![H(W_{11}, W_{12}, \cdots , W_{ij}, \cdots, W_{mn})]()
, 那么它的梯度向量[2]就等于
![\nabla H = \frac{\partial H}{\partial W_{11} }\mathbf{e}_{11} + \cdots + \frac{\partial H}{\partial W_{mn} }\mathbf{e}_{mn}]()
, 其中
![\mathbf{e}_{ij}]()
表示正交单位向量。为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而
BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器。
我们以求e=(a+b)*(b+1)的偏导[3]为例。
它的复合关系画出图可以表示如下：
在图中，引入了中间变量c,d。
在图中，引入了中间变量c,d。
为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。
利用链式法则我们知道：
利用链式法则我们知道：
![\frac{\partial e}{\partial a}=\frac{\partial e}{\partial c}\cdot \frac{\partial c}{\partial a}]()
以及
![\frac{\partial e}{\partial b}=\frac{\partial e}{\partial c}\cdot \frac{\partial c}{\partial b}+\frac{\partial e}{\partial d}\cdot \frac{\partial d}{\partial b}]()
。
链式法则在上图中的意义是什么呢？其实不难发现，![\frac{\partial e}{\partial a}]()
的值等于从a到e的路径上的偏导值的乘积，而
![\frac{\partial e}{\partial b}]()
的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说，对于上层节点p和下层节点q，要求得
![\frac{\partial p}{\partial q}]()
，需要找到从q节点到p节点的所有路径，并且对每条路径，求得该路径上的所有偏导数之乘积，然后将所有路径的 “乘积” 累加起来才能得到
![\frac{\partial p}{\partial q}]()
的值。
大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多 路径被重复访问了。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。
同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。
正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。
从最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放"些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以"层"为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。
以上图为例，节点c接受e发送的1*2并堆放起来，节点d接受e发送的1*3并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送2*1并对堆放起来，节点c向b发送2*1并堆放起来，节点d向b发送3*1并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为2*1+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.
举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪，同样又转向e，b又向d讨薪，再次转向e。可以看到，追款之路，充满艰辛，而且还有重复，即a, b 都从c转向e。
而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c，d。c，d收到钱，乐呵地把钱转发给了a，b，皆大欢喜。
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【参考文献】
[1] 技术向：一文读懂卷积神经网络CNN
[2] Gradient
[3] http://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/
其他推荐网页：
1. tensorflow.org 的页面
2. Neural networks and deep learning
简单的理解，它的确就是复合函数的链式法则，但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。
要回答题主这个问题“如何直观的解释back propagation算法？” 需要先直观理解多层神经网络的训练。
机器学习可以看做是数理统计的一个应用，在数理统计中一个常见的任务就是拟合，也就是给定一些样本点，用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系。
深度学习同样也是为了这个目的，只不过此时，样本点不再限定为(x, y)点对，而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对(X,Y)。而此时，(X,Y)之间的关系也变得十分复杂，不太可能用一个简单函数表示。然而，人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系，而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。借用网上找到的一幅图[1]，来直观描绘一下这种复合关系。
其对应的表达式如下：
上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k*x+b中的待求参数k和b。
上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k*x+b中的待求参数k和b。
和直线拟合一样，深度学习的训练也有一个目标函数，这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”，不过在机器学习中，一般是采用成本函数（cost function），然后，训练目标就是通过调整每一个权值Wij来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值Wij为自变量的复合函数，而且基本上是非凸的，即含有许多局部最小值。但实际中发现，采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。
梯度下降法需要给定一个初始点，并求出该点的梯度向量，然后以负梯度方向为搜索方向，以一定的步长进行搜索，从而确定下一个迭代点，再计算该新的梯度方向，如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢？
假设我们把cost函数表示为
我们以求e=(a+b)*(b+1)的偏导[3]为例。
它的复合关系画出图可以表示如下：
在图中，引入了中间变量c,d。
在图中，引入了中间变量c,d。
为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。
利用链式法则我们知道：
利用链式法则我们知道：
链式法则在上图中的意义是什么呢？其实不难发现，
大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多 路径被重复访问了。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。
同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。
正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。
从最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放"些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以"层"为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。
以上图为例，节点c接受e发送的1*2并堆放起来，节点d接受e发送的1*3并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送2*1并对堆放起来，节点c向b发送2*1并堆放起来，节点d向b发送3*1并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为2*1+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.
举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪，同样又转向e，b又向d讨薪，再次转向e。可以看到，追款之路，充满艰辛，而且还有重复，即a, b 都从c转向e。
而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c，d。c，d收到钱，乐呵地把钱转发给了a，b，皆大欢喜。
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【参考文献】
[1] 技术向：一文读懂卷积神经网络CNN
[2] Gradient
[3] http://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/
其他推荐网页：
1. tensorflow.org 的页面
2. Neural networks and deep learning
这大概是题主想要的吧（多图）：源地址：
源地址：
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我觉得理解BP算法原理最直接与清晰的就是根据computation graph了，话不多说，直接上图。这里举了一个三层神经网络（一个输入层、一个隐层和一个输出层）的例子，使用了softmax输出层，损失函数使用交叉熵。训练神经网络可以使用梯度下降的方法，重点是计算…
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我觉得理解BP算法原理最直接与清晰的就是根据computation graph了，话不多说，直接上图。
这里举了一个三层神经网络（一个输入层、一个隐层和一个输出层）的例子，使用了softmax输出层，损失函数使用交叉熵。训练神经网络可以使用梯度下降的方法，重点是计算梯度，也就是损失函数对参数的导数，在图中可以表示为dloss/dW1，dloss/dW2，dloss/db1和dloss/db2。如何计算这些梯度，使用的就是BP算法，其实也就是求导的链式法则。
这里举了一个三层神经网络（一个输入层、一个隐层和一个输出层）的例子，使用了softmax输出层，损失函数使用交叉熵。训练神经网络可以使用梯度下降的方法，重点是计算梯度，也就是损失函数对参数的导数，在图中可以表示为dloss/dW1，dloss/dW2，dloss/db1和dloss/db2。如何计算这些梯度，使用的就是BP算法，其实也就是求导的链式法则。
在每一轮迭代中，首先进行forward propagation，也就是计算computation graph中每个节点的状态：
之后进行back propagation，也就是计算computation graph中每个节点相对于损失函数（这里表示为loss）的导数，这里面应用了链式法则。对于dloss/dtanh2, dloss/dadd2等导数，下面省略分子直接表示为dtanh2等。
上面的变量都可以用矩阵表示，直接进行矩阵运算。其中dW1，dW2，db1和db2就是我们需要求的参数的梯度。
在编程实现上，每一个计算节点都可以定义两个函数，一个是forward，用于给定输入计算输出；一个是backward，用于给定反向梯度，计算整个表达式（相当于损失函数）相对于这个节点的输入的梯度，应用链式法则就是：这个节点相对于其输入的梯度（直接对输入求导）乘以这个节点接受的反向梯度。
我有一个tutorial，使用Python如何一步一步的实现神经网络，而且可以自定义网络的层数和每层的维度，扩展性很强。其中，抽象出来了gate（AddGate，MulGate），layer（Tanh，Sigmoid）和output（Softmax），你也可以自己实现不同的layer比如ReLu，或不同的output（比如Hinge）。
感兴趣的请移步
GitHub - pangolulu/neural-network-from-scratch: Implementing Multiple Layer Neural Network from Scratch
这里举了一个三层神经网络（一个输入层、一个隐层和一个输出层）的例子，使用了softmax输出层，损失函数使用交叉熵。训练神经网络可以使用梯度下降的方法，重点是计算梯度，也就是损失函数对参数的导数，在图中可以表示为dloss/dW1，dloss/dW2，dloss/db1和dloss/db2。如何计算这些梯度，使用的就是BP算法，其实也就是求导的链式法则。
这里举了一个三层神经网络（一个输入层、一个隐层和一个输出层）的例子，使用了softmax输出层，损失函数使用交叉熵。训练神经网络可以使用梯度下降的方法，重点是计算梯度，也就是损失函数对参数的导数，在图中可以表示为dloss/dW1，dloss/dW2，dloss/db1和dloss/db2。如何计算这些梯度，使用的就是BP算法，其实也就是求导的链式法则。
在每一轮迭代中，首先进行forward propagation，也就是计算computation graph中每个节点的状态：
mul1 = X * W1
add1 = mul1 + b1
tanh1 = tanh(add1)
mul2 = tanh1 * W2
add2 = mul2 + b2
tanh2 = tanh(add2)
loss = softmax_loss(tanh2)
dloss = 1
dtanh2 = softmax_loss_diff(tanh2) * dloss
dadd2 = tanh_diff(add2) * dtanh2
db2 = 1 * dadd2
dmul2 = 1 * dadd2
dW2 = tanh1 * dmul2
dtanh1 = W2 * dmul2
dadd1 = tanh_diff(add1) * dtanh1
db1 = 1 * dadd1
dmul1 = 1 * dadd1
dW1 = X * dmul1
在编程实现上，每一个计算节点都可以定义两个函数，一个是forward，用于给定输入计算输出；一个是backward，用于给定反向梯度，计算整个表达式（相当于损失函数）相对于这个节点的输入的梯度，应用链式法则就是：这个节点相对于其输入的梯度（直接对输入求导）乘以这个节点接受的反向梯度。
我有一个tutorial，使用Python如何一步一步的实现神经网络，而且可以自定义网络的层数和每层的维度，扩展性很强。其中，抽象出来了gate（AddGate，MulGate），layer（Tanh，Sigmoid）和output（Softmax），你也可以自己实现不同的layer比如ReLu，或不同的output（比如Hinge）。
感兴趣的请移步
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直接上干货，
Neural networks and deep learning（深度学习在线书chap2），把这一篇看完然后可以看看torch7的nn里面随便一个层的写法，或者caffe的Backward的实现，这两种框架都是按照layer-by-layer的方法设计的。另外比较灵活的一种方式是通过定义computa…
显示全部
直接上干货，
Neural networks and deep learning（深度学习在线书chap2），把这一篇看完然后可以看看torch7的nn里面随便一个层的写法，或者caffe的Backward的实现，这两种框架都是按照layer-by-layer的方法设计的。另外比较灵活的一种方式是通过定义computation graph，通过定义节点上基本操作的梯度，然后利用auto differentiation的思路就可以进行BP了（Tensorflow和MXNet的采用的思路）。
z为没经过激活函数的输出，a是经过激活函数的输出。
z为没经过激活函数的输出，a是经过激活函数的输出。
定义损失函数（Cost）关于 l 层输出z的偏导为：
则可以得到BP的4个基本方程：
则可以得到BP的4个基本方程：
该在线书上有关于前两个公式的证明的推导，仿照着利用chain rule，后两个公式也可以很简单地证明出来。
该在线书上有关于前两个公式的证明的推导，仿照着利用chain rule，后两个公式也可以很简单地证明出来。
另外贴一下BP算法和mini-batch SGD的算法：
BP：
----
----
mini-batch SGD：
BP算法最开始的发现是基于每个权重(weight)或者偏置(bias)的微小改变都能引起输出的改变，于是就进一步产生了用Cost对于这些参数的导数来更新w,b，进而达到改进输出的目的。
这里一种很直接的思路就是直接求Cost关于每个参数的导数（比如 [C(w+dw)-C(w)]/dw 这种数值微分），但是这种方法需要进行参数个数量次的Backward过程，计算代价很大。BP算法的提出就是为了优雅地解决这一问题，它只需要一次Backward就能将误差传到每一个可学的参数(w,b)。
（以上，该在线书的部分搬运，如需进一步阅读，直接戳原网址。以及进一步可参见相关框架的源码和实现细节）
PS:最近才比较深入理解BP，欢迎批评指正。
z为没经过激活函数的输出，a是经过激活函数的输出。
z为没经过激活函数的输出，a是经过激活函数的输出。
定义损失函数（Cost）关于 l 层输出z的偏导为：
则可以得到BP的4个基本方程：
则可以得到BP的4个基本方程：
该在线书上有关于前两个公式的证明的推导，仿照着利用chain rule，后两个公式也可以很简单地证明出来。
该在线书上有关于前两个公式的证明的推导，仿照着利用chain rule，后两个公式也可以很简单地证明出来。
另外贴一下BP算法和mini-batch SGD的算法：
BP：
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mini-batch SGD：
BP算法最开始的发现是基于每个权重(weight)或者偏置(bias)的微小改变都能引起输出的改变，于是就进一步产生了用Cost对于这些参数的导数来更新w,b，进而达到改进输出的目的。
这里一种很直接的思路就是直接求Cost关于每个参数的导数（比如 [C(w+dw)-C(w)]/dw 这种数值微分），但是这种方法需要进行参数个数量次的Backward过程，计算代价很大。BP算法的提出就是为了优雅地解决这一问题，它只需要一次Backward就能将误差传到每一个可学的参数(w,b)。
（以上，该在线书的部分搬运，如需进一步阅读，直接戳原网址。以及进一步可参见相关框架的源码和实现细节）
PS:最近才比较深入理解BP，欢迎批评指正。
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