高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第一节-数列的极限

高等数学笔记-乐经良老师

第二章 极限与连续

第一节 数列的极限

一、数列

• 数列的概念

  • 定义域为 ${\mathrm{N}}_{+}$的函数，$x_n=f(n),n\in {\mathbf{N}}_{+}$，

    写作 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$ 或 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​}
    $\uparrow ($ 第 $n$ 项)

• 可以讨论单调性、有界性

二、数列的极限

• 引例：考察数列

  • (1) $x_n=\frac{1}{n}$; (2) $x_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$; (3) $x_n=\frac{\left[1+(-1{)}^n\right]}{2n}$

  • 数列的变化趋势：无限地接近零，与零的距离任意小

  • 图形
    

  • 思考：如何给出这种变化趋势的数学描述？
    接近在数学上用距离表示, 即 $\left|x_n-A\right|$ 可任意小 或者说要多小就能有多小

• 数列极限的定义

  • 对 {xn},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+:\left\{x_{n}\right\}, \exists A \in \mathbf{R}, \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}:{xn​},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+​:
    当 $n>N$ 时,
    $\left|x_n-A\right|<\epsilon$
    则称 $A$ 为 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 的极限, 或称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 收敛于 $A$ ，
    记为
    $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$ 或 $x_n\to A(n\to \infty )$
  • 不存在这样的数A，则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 无极限或发散

• 关于极限定义的注意事项

  • $\epsilon$ 是任意的，但在确定 $N$ 时又是相对固定的
    $N$ 是依赖 $\epsilon$ 的，但不唯一
  • 无论 $\epsilon$ 多么小, 数列从某项 $x_N$ 以后的项都在邻域 $(A-\epsilon ,A+\epsilon )$ 内, 即在此邻域外只有有限项

• 适当放大法

  • 对 $\forall \epsilon >0$，要使 $\left|x_n-A\right|<\epsilon$, 可将 $\left|x_n-A\right|$ 适当放大为 $G(n)$ (有时放大在条件 $n>N_1$ 下进行)，然后求出 $G(n)<\epsilon$ 的充分条件 $n>N_2$，则有 $n>\max \left(N_1,N_2\right)$ 时 $\left|x_n-A\right|<\epsilon$

三、无穷小与无穷大

01 无穷小

• 无穷小的概念

  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$ 则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 为无穷小 (数列)

• 命题

  • 命题01
    • lim⁡n→∞xn=A⇔{xn−A}\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow\left\{x_{n}-A\right\}n→∞lim​xn​=A⇔{xn​−A}​ 为无穷小 $\iff \left|x_n-A\right|$​​ 为无穷小
    • 根据定义写出即可得到
  • 命题02
    • $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }\left(x_n\pm y_n\right)=0$
    • 无穷小的和(差)是无穷小
  • 命题03
    • lim⁡n→∞xn=0,{yn} 有界 ⇒lim⁡n→∞xnyn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=0,\left\{y_{n}\right\} \text { 有界 } \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0n→∞lim​xn​=0,{yn​} 有界 ⇒n→∞lim​xn​yn​=0
    • 无穷小与有界量之乘积是无穷小

02 无穷大

• 无穷大的概念
  • 对 {xn},∀M>0,∃N∈N+\left\{x_{n}\right\}, \forall M>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}{xn​},∀M>0,∃N∈N+​：当 $n>N$ 时， $\left|x_n\right|>M$, 则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 为无穷大，记为：$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\infty$
  • 极限为无穷大，也就是极限不存在
  • 试写出 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​}​ 为正无穷大$(+\infty )$​的定义

03 无穷小与无穷大

• 无穷小与无穷大的关系
  • 若 $x_n\ne 0$, 则 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 为无穷大 ⇔{1/xn}\Leftrightarrow\left\{1 / x_{n}\right\}⇔{1/xn​} 为无穷小

04 无穷大与无界

• 无穷大与无界一样吗？
  • 无穷大一定无界，无界不一定无穷大
  • 举例：$x_n=n\sin \frac{n\pi }{2}$

最后

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