高等数学笔记-乐经良老师
第二章 极限与连续
第一节 数列的极限
一、数列
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数列的概念
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定义域为 N+\mathrm{N}_{+}N+的函数,xn=f(n),n∈N+x_{n}=f(n), n \in \mathbf{N}_{+}xn=f(n),n∈N+,
写作 x1,x2,⋯ ,xn,⋯x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \cdotsx1,x2,⋯,xn,⋯ 或 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}
↑(\uparrow(↑( 第 nnn 项)
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可以讨论单调性、有界性
二、数列的极限
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引例:考察数列
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(1) xn=1nx_{n}=\frac{1}{n}xn=n1; (2) xn=(−1)nnx_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}xn=n(−1)n; (3) xn=[1+(−1)n]2nx_{n}=\frac{\left[1+(-1)^{n}\right]}{2 n}xn=2n[1+(−1)n]
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数列的变化趋势:无限地接近零,与零的距离任意小
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图形
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思考:如何给出这种变化趋势的数学描述?
接近在数学上用距离表示, 即 ∣xn−A∣\left|x_{n}-A\right|∣xn−A∣ 可任意小 或者说要多小就能有多小
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数列极限的定义
- 对 {xn},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+:\left\{x_{n}\right\}, \exists A \in \mathbf{R}, \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}:{xn},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+:
当 n>Nn>Nn>N 时,
∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilon∣xn−A∣<ε
则称 AAA 为 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 的极限, 或称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 收敛于 AAA ,
记为
limn→∞xn=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=An→∞limxn=A 或 xn→A(n→∞)x_{n} \rightarrow A(n \rightarrow \infty)xn→A(n→∞) - 不存在这样的数A,则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 无极限或发散
- 对 {xn},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+:\left\{x_{n}\right\}, \exists A \in \mathbf{R}, \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}:{xn},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+:
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关于极限定义的注意事项
- ε\varepsilonε 是任意的,但在确定 NNN 时又是相对固定的
NNN 是依赖 ε\varepsilonε 的,但不唯一 - 无论 ε\varepsilonε 多么小, 数列从某项 xNx_{N}xN 以后的项都在邻域 (A−ε,A+ε)(A-\varepsilon, A+\varepsilon)(A−ε,A+ε) 内, 即在此邻域外只有有限项
- ε\varepsilonε 是任意的,但在确定 NNN 时又是相对固定的
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适当放大法
- 对 ∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0,要使 ∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilon∣xn−A∣<ε, 可将 ∣xn−A∣\left|x_{n}-A\right|∣xn−A∣ 适当放大为 G(n)G(n)G(n) (有时放大在条件 n>N1n>N_{1}n>N1 下进行),然后求出 G(n)<εG(n)<\varepsilonG(n)<ε 的充分条件 n>N2n>N_{2}n>N2,则有 n>max(N1,N2)n>\max \left(N_{1}, N_{2}\right)n>max(N1,N2) 时 ∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilon∣xn−A∣<ε
三、无穷小与无穷大
01 无穷小
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无穷小的概念
- limn→∞xn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=0n→∞limxn=0 则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为无穷小 (数列)
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命题
- 命题01
- limn→∞xn=A⇔{xn−A}\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow\left\{x_{n}-A\right\}n→∞limxn=A⇔{xn−A} 为无穷小 ⇔∣xn−A∣\Leftrightarrow\left|x_{n}-A\right|⇔∣xn−A∣ 为无穷小
- 根据定义写出即可得到
- 命题02
- limn→∞xn=limn→∞yn=0⇒limn→∞(xn±yn)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=0n→∞limxn=n→∞limyn=0⇒n→∞lim(xn±yn)=0
- 无穷小的和(差)是无穷小
- 命题03
- limn→∞xn=0,{yn} 有界 ⇒limn→∞xnyn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=0,\left\{y_{n}\right\} \text { 有界 } \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0n→∞limxn=0,{yn} 有界 ⇒n→∞limxnyn=0
- 无穷小与有界量之乘积是无穷小
- 命题01
02 无穷大
- 无穷大的概念
- 对 {xn},∀M>0,∃N∈N+\left\{x_{n}\right\}, \forall M>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}{xn},∀M>0,∃N∈N+:当 n>Nn>Nn>N 时, ∣xn∣>M\left|x_{n}\right|>M∣xn∣>M, 则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为无穷大,记为:limn→∞xn=∞\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\inftyn→∞limxn=∞
- 极限为无穷大,也就是极限不存在
- 试写出 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为正无穷大(+∞)(+\infty)(+∞)的定义
03 无穷小与无穷大
- 无穷小与无穷大的关系
- 若 xn≠0x_{n} \neq 0xn=0, 则 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为无穷大 ⇔{1/xn}\Leftrightarrow\left\{1 / x_{n}\right\}⇔{1/xn} 为无穷小
04 无穷大与无界
- 无穷大与无界一样吗?
- 无穷大一定无界,无界不一定无穷大
- 举例:xn=nsinnπ2x_{n}=n \sin \frac{n \pi}{2}xn=nsin2nπ
最后
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