高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第一节-数列的极限

这篇笔记探讨了数列的极限概念,包括数列的定义、极限的定义及其性质。通过实例解释了数列无限接近某一数值的过程,并引入了无穷小的概念,阐述了无穷小与无穷大的关系,以及它们与无界性的区别。此外,还讨论了无穷小与无穷大在极限运算中的作用和相互转化。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章 极限与连续

第一节 数列的极限

一、数列

  • 数列的概念

    • 定义域为 N+\mathrm{N}_{+}N+的函数,xn=f(n),n∈N+x_{n}=f(n), n \in \mathbf{N}_{+}xn=f(n),nN+

      写作 x1,x2,⋯ ,xn,⋯x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \cdotsx1,x2,,xn,{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}
      ↑(\uparrow((nnn 项)

  • 可以讨论单调性、有界性

二、数列的极限

  • 引例:考察数列

    • (1) xn=1nx_{n}=\frac{1}{n}xn=n1; (2) xn=(−1)nnx_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}xn=n(1)n; (3) xn=[1+(−1)n]2nx_{n}=\frac{\left[1+(-1)^{n}\right]}{2 n}xn=2n[1+(1)n]

    • 数列的变化趋势:无限地接近零,与零的距离任意小

    • 图形
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    • 思考:如何给出这种变化趋势的数学描述?
      接近在数学上用距离表示, 即 ∣xn−A∣\left|x_{n}-A\right|xnA 可任意小 或者说要多小就能有多小

  • 数列极限的定义
    • {xn},∃A∈R,∀ε>0,∃N∈N+:\left\{x_{n}\right\}, \exists A \in \mathbf{R}, \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}:{xn},AR,ε>0,NN+:
      n>Nn>Nn>N 时,
      ∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilonxnA<ε
      则称 AAA{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 的极限, 或称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 收敛于 AAA
      记为
      lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=Anlimxn=Axn→A(n→∞)x_{n} \rightarrow A(n \rightarrow \infty)xnA(n)
    • 不存在这样的数A,则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 无极限发散
  • 关于极限定义的注意事项

    • ε\varepsilonε 是任意的,但在确定 NNN 时又是相对固定的
      NNN 是依赖 ε\varepsilonε 的,但不唯一
    • 无论 ε\varepsilonε 多么小, 数列从某项 xNx_{N}xN 以后的项都在邻域 (A−ε,A+ε)(A-\varepsilon, A+\varepsilon)(Aε,A+ε) 内, 即在此邻域外只有有限项
  • 适当放大法

    • ∀ε>0\forall \varepsilon>0ε>0,要使 ∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilonxnA<ε, 可将 ∣xn−A∣\left|x_{n}-A\right|xnA 适当放大为 G(n)G(n)G(n) (有时放大在条件 n>N1n>N_{1}n>N1 下进行),然后求出 G(n)<εG(n)<\varepsilonG(n)<ε 的充分条件 n>N2n>N_{2}n>N2,则有 n>max⁡(N1,N2)n>\max \left(N_{1}, N_{2}\right)n>max(N1,N2)∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilonxnA<ε

三、无穷小与无穷大

01 无穷小
  • 无穷小的概念

    • lim⁡n→∞xn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=0nlimxn=0 则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为无穷小 (数列)
  • 命题

    • 命题01
      • lim⁡n→∞xn=A⇔{xn−A}\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow\left\{x_{n}-A\right\}nlimxn=A{xnA}​ 为无穷小 ⇔∣xn−A∣\Leftrightarrow\left|x_{n}-A\right|xnA​​ 为无穷小
      • 根据定义写出即可得到
    • 命题02
      • lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn=0⇒lim⁡n→∞(xn±yn)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=0nlimxn=nlimyn=0nlim(xn±yn)=0
      • 无穷小的和(差)是无穷小
    • 命题03
      • lim⁡n→∞xn=0,{yn} 有界 ⇒lim⁡n→∞xnyn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=0,\left\{y_{n}\right\} \text { 有界 } \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0nlimxn=0,{yn} 有界 nlimxnyn=0
      • 无穷小与有界量之乘积是无穷小
02 无穷大
  • 无穷大的概念
    • {xn},∀M>0,∃N∈N+\left\{x_{n}\right\}, \forall M>0, \exists N \in \mathbf{N}_{+}{xn},M>0,NN+:当 n>Nn>Nn>N 时, ∣xn∣>M\left|x_{n}\right|>Mxn>M, 则称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为无穷大,记为:lim⁡n→∞xn=∞\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\inftynlimxn=
    • 极限为无穷大,也就是极限不存在
    • 试写出 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}​ 为正无穷大(+∞)(+\infty)(+)​的定义
03 无穷小与无穷大
  • 无穷小与无穷大的关系
    • xn≠0x_{n} \neq 0xn=0, 则 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 为无穷大 ⇔{1/xn}\Leftrightarrow\left\{1 / x_{n}\right\}{1/xn} 为无穷小
04 无穷大与无界
  • 无穷大与无界一样吗?
    • 无穷大一定无界,无界不一定无穷大
    • 举例:xn=nsin⁡nπ2x_{n}=n \sin \frac{n \pi}{2}xn=nsin2

最后

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