高等数学学习笔记 ☞ 极限的运算法则与存在准则

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于 2025-01-03 14:45:49 发布 · 1.2k 阅读

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#运算法则 #存在准则 #两个重要极限

1. 极限的运算法则

（1）有限个无穷小的和是无穷小。（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。

备注：

①：无限个无穷小的和不一定是无穷小，反例如下：当 $n\rightarrow \infty$ 时， $n$ 个1/ $n$ 的和的极限为1。

②：无限个无穷小的乘积不一定是无穷小，反例可在网上搜索到。

（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。（4）常数与无穷小的乘积是无穷小。

$eg:\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x*sin(\frac{1}{x})=0$ 。 $eg:\alpha \rightarrow 0,k\alpha \rightarrow 0$ 。

（5）若 $\lim_{}f(x)=A,\lim_{}g(x)=B$ ，则：

①： $\lim_{}(f(x)\pm g(x))=\lim_{}f(x)\pm\lim_{}g(x)$ 。 ②： $\lim_{}(f(x)* g(x))=\lim_{}f(x)*\lim_{}g(x)$ 。

③： $B\neq 0,\lim_{}(f(x)/ g(x))=\lim_{}f(x)/\lim_{}g(x) = A/B$ 。

备注：使用以上规则的前提是函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的极限都存在，否则不能拆开求极限。

（6）

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