斐波那契数列以及Catalan数通项公式的推导

最新推荐文章于 2022-12-14 01:28:02 发布

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本文详细介绍了斐波那契数列和卡特兰数的通项公式推导过程。通过生成函数法，解析求解了斐波那契数列的生成函数，并将其转化为等比数列的和，得到通项公式f(n)=5(21+5)n−(21−5)n。同时，对于卡特兰数，通过递推公式构建生成函数并解得F(x)=2x1−1−4x，然后利用广义二项式定理展开，最终得出卡特兰数通项公式f(n)=n+1(n2n)。

1、斐波那契数列通项公式推导：
已知斐波那契数列的递推公式为 $f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$ 且 $f (0) = 0, f (1) = 1$ 。
设斐波那契数列的生成函数为 $F (x)$ , $F(x)=∑i=0∞f(i)xiF(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f(i)x^i$ 。
现推导该生成函数的封闭形式：
$F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x2+...+xF(x)=f(0)x+f(1)x2+f(2)x3+..+F(x)+xF(x)=f(0)+f(2)x+f(3)x2+...+[F(x)+xF(x)+f(1)]x=f(0)+f(1)x+f(2)x2+...+=F(x)\begin{aligned}F(x)&=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+...+\\ xF(x)&=f(0)x+f(1)x^2+f(2)x^3+..+\\ F(x)+xF(x)&=f(0)+f(2)x+f(3)x^2+...+\\ [F(x)+xF(x)+f(1)]x&=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+...+=F(x)\end{aligned}$
得
$F(x)=(F(x)+xF(x)+f(1))xF(x)=x1−x−x2\begin{aligned} F(x)&=(F(x)+xF(x)+f(1))x\\ F(x)&=\frac{x}{1-x-x^2} \end{aligned}$
不妨假设 $F(x)=A1−ax+B1−bxF(x)=\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}$
那么得到一个方程组
$A+B=0Ab+aB=−1a+b=1ab=−1\left\{\begin{matrix} A+B=0 \\ Ab+aB=-1 \\ a+b=1 \\ ab=-1 \end{matrix}\right.$
解得
$A=15B=−15a=1+52b=1−52\left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{\sqrt 5}\\ B=-\frac{1}{\sqrt 5} \\ a=\frac{1+\sqrt 5}{2} \\ b=\frac{1-\sqrt 5}{2} \end{matrix}\right.$
将系数代入得
$F(x)=151−1+52x+−151−1−52xF(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt 5}}{1-{\frac{1+\sqrt 5}{2}}x}+\frac{-\frac{1}{\sqrt 5}}{1-{\frac{1-\sqrt 5}{2}}x}$

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