本文解析了NOIP2017提高初赛中的一道题目，通过数学方法推导出特定数列的递推公式，并给出数列的通项表达式。
这题来自NOIP2017提高初赛题
设函数fn=(fn−1+fn−2)/2f_n=(f_{n-1}+f_{n-2})/2fn=(fn−1+fn−2)/2
f1=0,f2=1f_1=0,f_2=1f1=0,f2=1
求fnf_nfn的递推式，
有一个很辣鸡但很清真的方法：
如果我们把式子表示成：fn+a∗fn−1=k(fn−1+a∗fn−2)f_n+a*f_{n-1}=k(f_{n-1}+a*f_{n-2})fn+a∗fn−1=k(fn−1+a∗fn−2)
那是不是就是一个等比数列啦~（gn=k∗gn−1g_n=k*g_{n-1}gn=k∗gn−1）
来看看a,k这两个系数是啥，
fn+a∗fn−1=(0.5+a)∗fn−1+0.5∗fn−2f_n+a*f_{n-1}=(0.5+a)*f_{n-1}+0.5*f_{n-2}fn+a∗fn−1=(0.5+a)∗fn−1+0.5∗fn−2
设方程（两边对应的比值相等）
10.5+a=a0.5\frac{1}{0.5+a}=\frac{a}{0.5}0.5+a1=0.5a
解得：a1=0.5 , a2=−1a_1=0.5\ ,\ a_2=-1a1=0.5 , a2=−1
所以：
fn+0.5fn−1=(fn−1+0.5∗fn−2)f_n+0.5f_{n-1}=(f_{n-1}+0.5*f_{n-2})fn+0.5fn−1=(fn−1+0.5∗fn−2)
fn−fn−1=−0.5∗(fn−1−fn−2)f_n-f_{n-1}=-0.5*(f_{n-1}-f_{n-2})fn−fn−1=−0.5∗(fn−1−fn−2)
又因为：f1=0,f2=1f_1=0,f_2=1f1=0,f2=1
所以:
fn+0.5fn−1=1f_n+0.5f_{n-1}=1fn+0.5fn−1=1
fn−fn−1=(−12)n−1f_n-f_{n-1}=(-\frac{1}{2})^{n-1}fn−fn−1=(−21)n−1
消去fn−1f_{n-1}fn−1：fn=2+(−12)n−13f_n=\frac{2+(-\frac{1}{2})^{n-1}}{3}fn=32+(−21)n−1
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