【JZOJ 4714】公约数

最新推荐文章于 2018-05-16 12:17:00 发布

原创最新推荐文章于 2018-05-16 12:17:00 发布 · 620 阅读

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#gcd #位运算

本文探讨了在给定正整数n的范围内，寻找满足特定条件的无序数对(a,b)的方法。这些数对需满足最大公约数gcd(a,b)等于a与b的异或操作(axorb)，且等于它们的差值a-b。通过分析得出，当a大于b时，可以通过枚举差值c及其倍数i来判断是否满足条件，最终得到数对的数量。

Description

给定一个正整数，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。

Solution

设 $a>b$
有两个性质：
1. $\gcd(a,b)\leqslant a-b$
2. $a\ xor\ b\geqslant a-b$
所以 $\gcd(a,b)=a\ xor\ b=a-b$
设 $c=a-b$ ，
所以我们可以枚举c和倍数i来判断 $ic\ xor\ c=(i-1)c$
复杂度： $O(n\log(n))$

Code

成就：代码写进180B！

#include<cstdio>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
int n,ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n/3)fo(j,2,n/i)if(((i*j)^i)==i*(j-1))ans++;
    printf("%d\n",ans);
}